Сила противодействия упругого вещества линейному растяжению или сжатию прямо пропорциональна относительному увеличению или сокращению длины.

Представьте, что вы взялись за один конец упругой пружины, другой конец которой закреплен неподвижно, и принялись ее растягивать или сжимать. Чем больше вы сдавливаете пружину или растягиваете ее, тем сильнее она этому сопротивляется. Именно по такому принципу устроены любые пружинные весы — будь то безмен (в нем пружина растягивается) или платформенные пружинные весы (пружина сжимается). В любом случае пружина противодействует деформации под воздействием веса груза, и сила гравитационного притяжения взвешиваемой массы к Земле уравновешивается силой упругости пружины. Благодаря этому мы можем измерять массу взвешиваемого объекта по отклонению конца пружины от ее нормального положения.

Первое по-настоящему научное исследование процесса упругого растяжения и сжатия вещества предпринял Роберт Гук. Первоначально в своем опыте он использовал даже не пружину, а струну, измеряя, насколько она удлиняется под воздействием различных сил, приложенных к одному ее концу, в то время как другой конец жестко закреплен. Ему удалось выяснить, что до определенного предела струна растягивается строго пропорционально величине приложенной силы, пока не достигает предела упругого растяжения (эластичности) и не начинает подвергаться необратимой нелинейной деформации (см. ниже). В виде уравнения закон Гука записывается в следующей форме:

где F — сила упругого сопротивления струны, x — линейное растяжение или сжатие, а k — так называемый коэффициент упругости . Чем выше k , тем жестче струна и тем тяжелее она поддается растяжению или сжатию. Знак минус в формуле указывает на то, что струна противодействует деформации: при растяжении стремится укоротиться, а при сжатии — распрямиться.

Закон Гука лег в основу раздела механики, который называется теорией упругости. Выяснилось, что он имеет гораздо более широкие применения, поскольку атомы в твердом теле ведут себя так, будто соединены между собой струнами, то есть упруго закреплены в объемной кристаллической решетке. Таким образом, при незначительной упругой деформации эластичного материала действующие силы также описываются законом Гука, но в несколько более сложной форме. В теории упругости закон Гука принимает следующий вид:

σ /η = E

где σ — механическое напряжение (удельная сила, приложенная к поперечной площади сечения тела), η — относительное удлинение или сжатие струны, а Е — так называемый модуль Юнга , или модуль упругости, играющий ту же роль, что коэффициент упругости k. Он зависит от свойств материала и определяет, насколько растянется или сожмется тело при упругой деформации под воздействием единичного механического напряжения.

Вообще-то, Томас Юнг гораздо более известен в науке как один из сторонников теории волновой природы света, разработавший убедительный опыт с расщеплением светового луча на два пучка для ее подтверждения (см. Принцип дополнительности и Интерференция), после чего сомнений в верности волновой теории света ни у кого не осталось (хотя до конца облечь свои идеи в строгую математическую форму Юнг так и не сумел). Вообще говоря, модуль Юнга представляет собой одну из трех величин, позволяющих описать реакцию твердого материала на приложенную к нему внешнюю силу. Вторая — это модуль смещения (описывает, насколько вещество смещается под воздействием силы, приложенной по касательной к поверхности), а третья — соотношение Пуассона (описывает, насколько твердое тело истончается при растяжении). Последнее названо в честь французского математика Симеона Дени Пуассона (Siméon-Denis Poisson, 1781-1840) .

Конечно, закон Гука даже в усовершенствованной Юнгом форме не описывает всего, что происходит с твердым веществом под воздействием внешних сил. Представьте себе резиновую ленту. Если растянуть ее не слишком сильно, со стороны резиновой ленты возникнет возвратная сила упругого натяжения, и как только вы ее отпустите, она тут же соберется и примет прежнюю форму. Если растягивать резиновую ленту и дальше, то рано или поздно она утратит свою эластичность, и вы почувствуете, что сила сопротивления растяжению ослабла. Значит, вы перешли так называемый предел эластичности материала. Если тянуть резину и дальше, через какое-то время она вообще порвется, и сопротивление исчезнет полностью — это вы перешли через так называемую точку разрыва.

Иными словами, закон Гука действует только при относительно небольших сжатиях или растяжениях. Пока вещество сохраняет свои упругие свойства, силы деформации прямо пропорциональны ее величине, и вы имеете дело с линейной системой — каждому равному приращению приложенной силы соответствует равное приращение деформации. Стоит перетянуть резину за предел эластичности , и межатомные связи-пружины внутри вещества сначала ослабевают, а затем рвутся — и простое линейное уравнение Гука перестает описывать происходящее. В таком случае принято говорить, что система стала нелинейной. Сегодня исследование нелинейных систем и процессов является одним из основных направлений развития физики.

Robert Hooke, 1635—1703

Английский физик. Родился во Фрешуотере (Freshwater) на острове Уайт в семье священника, окончил Оксфордский университет. Еще учась в университете, работал ассистентом в лаборатории Роберта Бойля, помогая последнему строить вакуумный насос для установки, на которой был открыт закон Бойля—Мариотта . Будучи современником Исаака Ньютона, вместе с ним активно участвовал в работе Королевского общества, а в 1677 году занял там пост ученого секретаря. Как и многие другие ученые того времени, Роберт Гук интересовался самыми разными областями естественных наук и внес вклад в развитие многих из них. В своей монографии «Микрография» (Micrographia ) он опубликовал множество зарисовок микроскопического строения живых тканей и других биологических образцов и впервые ввел современное понятие «живая клетка». В геологии он первым осознал важность геологических пластов и первым в истории занялся научным изучением природных катаклизмов (см. Униформизм). Он же одним из первых высказал гипотезу, что сила гравитационного притяжения между телами убывает пропорционально квадрату расстояния между ними, а это ключевой компонент Закона всемирного тяготения Ньютона , и двое соотечественников и современников так до конца жизни и оспаривали друг у друга право называться его первооткрывателем. Наконец, Гук разработал и собственноручно построил целый ряд важных научно-измерительных приборов — и многие склонны видеть в этом его главный вклад в развитие науки. Он, в частности, первым додумался помещать перекрестье из двух тонких нитей в окуляр микроскопа, первым предложил принять температуру замерзания воды за ноль температурной шкалы, а также изобрел универсальный шарнир (карданное сочленение).

Многие ли из нас задумывались, каким удивительным образом ведут себя предметы при воздействии на них?

Например, почему ткань, если мы растягиваем ее в разные стороны, может долго тянуться, а в один момент вдруг порваться? И почему тот же самый эксперимент куда сложнее провести с карандашом? От чего зависит сопротивление материала? Каким образом можно определить, до какой степени он поддается деформации или растяжению?

Все эти и многие другие вопросы более 300 лет назад задавал себе английский исследователь И нашел ответы, ныне объединенные под общим названием "Закон Гука".

Согласно его исследованиям, каждый материал имеет так называемый коэффициент упругости . Это свойство, позволяющее материалу растягиваться в определенных пределах. Коэффициент упругости - величина постоянная. Это значит, что каждый материал может выдержать лишь определенный уровень сопротивления, после чего он достигает уровня необратимой деформации.

В целом, Закон Гука можно выразить формулой:

где F - сила упругости, k - уже упомянутый коэффициент упругости, а /x/ - изменение длины материала. Что подразумевается под изменением этого показателя? Под воздействием силы некий изучаемый предмет, будь это струна, резина или любой другой, изменяются, вытягиваясь или сжимаясь. Изменением длины в данном случае считается разница между изначальной и конечной длиной изучаемого предмета. То есть то, на сколько вытянулась/сжалась пружина (резина, струна и т.д.)

Отсюда, зная длину и постоянный коэффициент упругости для данного материала, можно найти силу, с которой материал натягивается, или силу упругости, как еще нередко называют Закон Гука.

Существуют также особые случаи, при которых данный закон в своей стандартной форме использован быть не может. Речь идет об измерении силы деформации в условиях сдвига, то есть в ситуациях, когда деформацию производит некая сила, воздействующая на материал под углом. Закон Гука при сдвиге может быть выражен таким образом:

где τ - искомая сила, G- постоянный коэффициент, известный как модуль упругости при сдвиге, y - угол сдвига, та величина, на которую изменился угол наклона предмета.

Если на тело воздействовать некоторой силой, то его размер и (или) форма изменяются. Это процесс называют деформацией тела. В телах, подвергающихся деформациям, возникают силы упругости, уравновешивающие внешние силы.

Виды деформации

Все деформации можно разделить на два вида: упругие деформации и пластические .

Определение

Упругой называют деформацию, если после снятия нагрузки прежние размеры тела и его форма полностью восстанавливаются.

Определение

Пластической считают деформацию, при которой появившиеся, вследствие деформации, изменения размера и формы тела, после снятия нагрузки восстанавливаются частично.

Характер деформации зависит от

• величины и времени воздействия внешней нагрузки;
• материала тела;
• состояния тела (температуры, способов обработки и т.д).

Резкой границы между упругой и пластической деформациями не существует. В большом числе случаев малые и кратковременные деформации можно считать упругими.

Формулировки закона Гука

Эмпирически получено, что чем большую деформацию необходимо получить, тем большую деформирующую силу следует приложить к телу. По величине деформации ($\Delta l$) можно судить о величине силы:

\[\Delta l=\frac{F}{k}\left(1\right),\]

выражение (1) означает, что абсолютная величина упругой деформации прямо пропорциональная приложенной силе. Данное утверждение является содержанием закона Гука.

При деформации удлинения (сжатия) тела выполняется равенство:

где $F$ - деформирующая сила; $l_0$ - начальная длина тела; $l$ - длина тела после деформации; $k$ - коэффициент упругости (коэффициент жесткости, жесткость), $ \left=\frac{Н}{м}$. Коэффициент упругости зависит от материала тела, его размеров и формы.

Так как в деформированном теле возникают силы упругости ($F_u$), которые стремятся восстановить прежние размеры и форму телу, то часто закон Гука формулируют относительно сил упругости:

Закон Гука хорошо работает для деформаций, которые возникают в стержнях из стали, чугуна, и других твердых веществ, в пружинах. Справедлив закон Гука для деформаций растяжения и сжатия.

Закон Гука для малых деформаций

Сила упругости зависит от изменения расстояния между частями одного и того же тела. Следует помнить, что закон Гука выполняется только для малых деформаций. При больших деформациях сила упругости не пропорциональна измерению длины, при дальнейшем увеличении деформирующего воздействия тело способно разрушаться.

Если деформации тела малы, то силы упругости можно определять по ускорению, которое данные силы сообщают телам. Если тело неподвижно, то модуль силы упругости находят из равенства нулю векторной суммы сил, которые действуют на тело.

Закон Гука можно записывать не только относительно сил, но часто его формулируют для такой величины как напряжение ($\sigma =\frac{F}{S}$ - сила, которая действует на единичную площадь поперечного сечения тела), тогда для малых деформаций:

\[\sigma =Е\frac{\Delta l}{l}\ \left(4\right),\]

где $Е$ - модуль Юнга;$\ \frac{\Delta l}{l}$ - относительное удлинение тела.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. К стальному тросу длинной $l$, диаметром $d$ подвесили груз массой $m$. Каково напряжение в тросе ($\sigma $), а также абсолютное его удлинение ($\Delta l$)?

Решение. Сделаем рисунок.

Для того чтобы найти силу упругости, рассмотрим силы, которые действуют на тело, подвешенное к тросу, так как сила упругости будет равна по величине силе натяжения ($\overline{N}$). По второму закону Ньютона имеем:

В проекции на ось Y уравнения (1.1) получим:

По третьему закону Ньютона тело, действует на трос с силой равной по величине силе $\overline{N}$, трос, действует на тело с силой $\overline{F}$, равной$\overline{\ N,}$ но противоположного направления, так деформирующая трос сила ($\overline{F}$) равна:

\[\overline{F}=-\overline{N\ }\left(1.3\right).\]

Под воздействием деформирующей силы в тросе возникает сила упругости, которая равна по величине:

Напряжение в тросе ($\sigma $) найдем как:

\[\sigma =\frac{F_u}{S}=\frac{mg}{S}\left(1.5\right).\]

Площадь S - это площадь поперечного сечения троса:

\[\sigma =\frac{4mg\ }{{\pi d}^2}\left(1.7\right).\]

По закону Гука:

\[\sigma =Е\frac{\Delta l}{l}\left(1.8\right),\]

\[\frac{\Delta l}{l}=\frac{\sigma }{E}\to \Delta l=\frac{\sigma l}{E}\to \Delta l=\frac{4mgl\ }{{\pi d}^2E}.\]

Ответ. $\sigma =\frac{4mg\ }{{\pi d}^2};\ \Delta l=\frac{4mgl\ }{{\pi d}^2E}$

Пример 2

Задание. Какова абсолютная деформация первой пружины из двух последовательно соединенных пружин (рис.2), если коэффициенты жесткости пружин равны: $k_1\ и\ k_2$, а удлинение второй пружины составляет $\Delta x_2$?

Решение. Если система из последовательно соединенных пружин находится в состоянии равновесия, то силы натяжения данных пружин одинаковы:

По закону Гука:

Согласно (2.1) и (2.2) имеем:

Выразим из (2.3) удлинение первой пружины:

\[\Delta x_1=\frac{k_2\Delta x_2}{k_1}.\]

Ответ. $\Delta x_1=\frac{k_2\Delta x_2}{k_1}$.

Законом Гука обычно называют линейные соотношения между компонентами деформаций и компонентами напряжений.

Возьмем элементарный прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным осям, нагруженный нормальным напряжением σ х , равномерно распределенным по двум противоположным граням (рис. 1). При этом σ y = σ z = τ х y = τ х z = τ yz = 0.

Вплоть до достижения предела пропорциональности относительное удлинение дается формулой

где Е — модуль упругости при растяжении. Для стали Е = 2*10 5 МПа , поэтому деформации очень малы и измеряются в процентах или в 1*10 5 (в тензометрических приборах, измеряющих деформации).

Удлинение элемента в направлении оси х сопровождается его сужением в поперечном направлении, определяемом компонентами деформаций

где μ - константа, называемая коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Для стали μ обычно принимается равным 0,25-0,3.

Если рассматриваемый элемент нагружен одновременно нормальными напряжениями σ x , σ y , σ z , равномерно распределенными по его граням, то добавляются деформации

Производя наложение компонент деформации, вызванных каждым из трех напряжений, получим соотношения

Эти соотношения подтверждаются многочисленными экспериментами. Примененный метод наложения или суперпозиции для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами, является законным, пока деформации и напряжения малы и линейно зависят от приложенных сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела и малыми перемещениями точек приложения внешних сил и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела.

Следует отметить, что из малости перемещений еще не следует линейность соотношений между силами и деформациями. Так, например, в сжатом силами Q стержне, нагруженном дополнительно поперечной силой Р , даже при малом прогибе δ возникает дополнительный момент М = Qδ , который делает задачу нелинейной. В таких случаях полные прогибы не являются линейными функциями усилий и не могут быть получены с помощью простого наложения (суперпозиции).

Экспериментально установлено, что если касательные напряжения действуют по всем граням элемента, то искажение соответствующего угла зависит только от соответствующих компонентов касательного напряжения.

Константа G называется модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига.

Общий случай деформации элемента от действия на него трех нормальных и трех касательных компонентов напряжений можно получить с помощью наложения: на три линейные деформации, определяемые выражениями (5.2а), накладываются три деформации сдвига, определяемые соотношениями (5.2б). Уравнения (5.2а) и (5.2б) определяют связь между компонентами деформаций и напряжений и называются обобщенным законом Гука . Покажем теперь, что модуль сдвига G выражается через модуль упругости при растяжении Е и коэффициент Пуассона μ . Для этого рассмотрим частный случай, когда σ х = σ , σ y = -σ и σ z = 0.

Вырежем элемент abcd плоскостями, параллельными оси z и наклоненными под углом 45° к осям х и у (рис. 3). Как следует из условий равновесия элемента 0bс , нормальные напряжения σ v на всех гранях элемента abcd равны нулю, а касательные напряжения равны

Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом . Из уравнений (5.2а) следует, что

то есть удлинение горизонтального элемента 0c равно укорочению вертикального элемента 0b : ε y = -ε x .

Угол между гранями аb и bc изменяется, и соответствующую величину деформации сдвига γ можно найти из треугольника 0bс :

Отсюда следует, что

Это сила возникает в результате деформации (изменения первоначального состояния вещества). Например, когда растягиваем пружину, мы увеличиваем расстояние между молекулами материала пружины. Когда сжимаем пружину - уменьшаем. Когда перекручиваем или сдвигаем. Во всех этих примерах возникает сила, которая препятствует деформации - сила упругости.

Закон Гука

Сила упругости направлена противоположно деформации.

Так как тело представляем в виде материальной точки, силу можно изображать с центра

При последовательном соединении, например, пружин жесткость рассчитывается по формуле

При параллельном соединении жесткость

Жесткость образца. Модуль Юнга.

Модуль Юнга характеризует упругие свойства вещества. Это постоянная величина, зависящая только от материала, его физического состояния. Характеризует способность материала сопротивляться деформации растяжения или сжатия. Значение модуля Юнга табличное.

Вес тела

Вес тела - это сила, с которой предмет воздействует на опору. Вы скажете, так это же сила тяжести! Путаница происходит в следующем: действительно часто вес тела равен силе тяжести, но это силы совершенно разные. Сила тяжести - сила, которая возникает в результате взаимодействия с Землей. Вес - результат взаимодействия с опорой. Сила тяжести приложена в центре тяжести предмета, вес же - сила, которая приложена на опору (не на предмет)!

Формулы определения веса нет. Обозначается эта силы буквой .

Сила реакции опоры или сила упругости возникает в ответ на воздействие предмета на подвес или опору, поэтому вес тела всегда численно одинаков силе упругости, но имеет противоположное направление.

Сила реакции опоры и вес - силы одной природы, согласно 3 закону Ньютона они равны и противоположно направлены. Вес - это сила, которая действует на опору, а не на тело. Сила тяжести действует на тело.

Вес тела может быть не равен силе тяжести. Может быть как больше, так и меньше, а может быть и такое, что вес равен нулю. Это состояние называется невесомостью . Невесомость - состояние, когда предмет не взаимодействует с опорой, например, состояние полета: сила тяжести есть, а вес равен нулю!

Определить направление ускорения возможно, если определить, куда направлена равнодействующая сила.

Обратите внимание, вес - сила, измеряется в Ньютонах. Как верно ответить на вопрос: "Сколько ты весишь"? Мы отвечаем 50 кг, называя не вес, а свою массу! В этом примере, наш вес равен силе тяжести, то есть примерно 500Н!

Перегрузка - отношение веса к силе тяжести

Сила Архимеда

Сила возникает в результате взаимодействия тела с жидкость (газом), при его погружении в жидкость (или газ). Эта сила выталкивает тело из воды (газа). Поэтому направлена вертикально вверх (выталкивает). Определяется по формуле:

В воздухе силой Архимеда пренебрегаем.

Если сила Архимеда равна силе тяжести, тело плавает. Если сила Архимеда больше, то оно поднимается на поверхность жидкости, если меньше - тонет.

Электрические силы

Существуют силы электрического происхождения. Возникают при наличии электрического заряда. Эти силы, такие как Сила Кулона, сила Ампера, сила Лоренца.

Законы Ньютона

I закон Ньютона

Существуют такие системы отсчета, которые называются инерциальными, относительно которых тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела или действие других сил скомпенсированно.

II закон Ньютона

Ускорение тела прямопропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе:

III закон Ньютона

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

Локальная система отсчёта - это система отсчёта, которая может считаться инерциальной, но лишь в бесконечно малой окрестности какой-то одной точки пространства-времени, или лишь вдоль какой-то одной незамкнутой мировой линии.

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике.

Преобразования Галилея. Рассмотрим две системы отсчета движущиеся друг относительно друга и с постоянной скоростью v 0 .Одну из этих систем обозначим буквой K. Будем считать неподвижной. Тогда вторая система Kбудет двигаться прямолинейно и равномерно. Выберем координатные оси x,y,z системы K и x",y",z" системы K" так что оси x и x" совпадали, а оси y и y" , z и z", были параллельны друг другу. Найдем связь между координатами x,y,z некоторой точки P в системе K и координатами x",y",z" той же точки в системе K". Если начать отсчёт времени с того момента, когда начало координат системы, совпадали, то x=x"+v 0 , кроме того, очевидно, что y=y", z=z". Добавим к этим соотношениям принятое в классической механике предположение, что время в обеих системах течёт одинаковым образом, то есть t=t". Получим совокупность четырёх уравнений: x=x"+v 0 t;y=y";z=z";t=t", названных преобразованиями Галилея.Механический принцип относительности. Положение о том, что все механические явления в различных инерциальных системах отсчёта протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится ли система или движется равномерно и прямолинейно носит названия принцип относительности Галилея.Нарушение классического закона сложения скоростей. Исходя из общего принципа относительности (никаким физическим опытом нельзя отличить одну инерциальною систему от другой), сформулированным Альбертом Эйнштейном, Лоуренс изменил преобразования Галилиея и получил: x"=(x-vt)/(1-v 2 /c 2); y"=y; z"=z; t"=(t-vx/c 2)/(1-v 2 /c 2). Эти преобразования называются преобразованиями Лоуренса.