В том случае, когда в уравнении (2.4) функция представляет собой нелинейную функцию своих аргументов, динамика работы звена описывается нелинейным дифференциальным уравнением, а само звено называется нелинейным динамическим звеном. Если же описание динамики работы звена приводит к линейному дифференциальному уравнению [функция в уравнении (2.4) линейно зависит от своих аргументов], то звено называется линейным динамическим звеном. Заметим, что линейность статической характеристики звена, вообще говоря, не дает основания отнести его к разряду линейных, ибо встречаются случаи, когда нелинейные свойства звена проявляются только в неустановившихся режимах.

Исследование нелинейных дифференциальных уравнений существенно труднее и сложнее, чем линейных. Поэтому в тех случаях, когда это возможно, всегда стремятся линеаризовать нелинейное дифференциальное уравнение, т. е. заменить его приближенно некоторым линейным дифференциальным уравнением, решение которого достаточно близко к решению исходного нелинейного уравнения.

Простейший способ линеаризации основан на разложении нелинейной функции в ряд Тэйлора с последующим отбрасыванием нелинейных членов разложения. Рассмотрим этот способ применительно к уравнению (2.5), имеющему первый порядок. Все изложенное будет справедливо и для уравнений более высокого порядка.

Линеаризация нелинейного уравнения всегда производится относительно некоторого, заранее выбранного, режима работы динамического звена. Чаще всего в качестве режима, принимаемого при линеаризации за исходный, выбирается установившийся режим, характеризуемый постоянством всех обобщенных координат. Применительно к уравнению (2.5) уравнения исходного режима математически могут быть записаны так:

Здесь - постоянные величины, связанные между собой уравнением

Выбрав исходный режим, для линеаризации уравнения (2.5) поступают следующим образом.

1. Представляют все входящие в рассмотрение координаты в виде

В уравнениях отклонения соответствующих координат от их значений (2.8), принятых за исходные при линеаризации. Соотношения (2.10) - (2.12) позволяют вместо полных значений координат оперировать их отклонениями (или приращениями)

2. Левую часть уравнения (2.5) разлагают в ряд Тэйлора относительно точки с координатами соответствующей исходному режиму. В результате уравнение (2.5) переписывается в виде

В соответствии с правилом разложения функции нескольких переменных в ряд Тэйлора частные производные, входящие в левую часть уравнения (2.16), вычисляются в точке, соответствующей режиму, принятому за исходный при линеаризации, так что, например, означает частную производную от функции по переменной в которую после вычисления подставлены значения Так как в исходном режиме все координаты постоянны, то все фигурирующие в уравнении (2.16) частные производные представляют собой просто некоторые числа, зависящие от выбора исходного режима (т. е. от чисел Символом в уравнении (2.16) обозначен остаточный член разложения, содержащий вторую и более высокие степени отклонений и их произведения, умноженные на соответствующие частные производные. Функция обладает тем свойством, что

3. Отклонения координат их исходных значений считают малыми («гипотеза малых отклонений») и на этом основании в левой части уравнения (2.16) пренебрегают членами, содержащими вторую и более высокие степени отклонений и их произведения

как членами более высокого порядка малости по сравнению с членами, содержащими отклонения в первой степени, т. е. полагают

Учитывая, кроме того, соотношение (2.9), окончательно получают уравнение

Это уравнение есть линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Оно представляет собой результат линеаризации нелинейного уравнения (2.5) относительно исходного режима (2.8).

Из изложенного следует, что необходимым условием линеаризации является разложимость функции фигурирующей в левой части нелинейного дифференциального уравнения, в ряд Тэйлора в окрестности точки с координатами, соответствующими режиму, выбранному при линеаризации за исходный. Если такое разложение невозможно (например, функция недифференцируема по какой-либо из координат), то рассмотренный метод линеаризации не имеет силы, и исходное нелинейное уравнение даже приближенно не может быть заменено линейным. В этом случае говорят, что динамическое звено, описываемое таким уравнением, является существенно нелинейным, т. е. нелинеаризуемым. Деление динамических звеньев на линеаризуемые и нелинеаризуемые связано со способом линеаризации, основанным на разложении нелинейной функции в ряд Тэйлора. В главе 8 будут рассмотрены методы, позволяющие осуществить линеаризацию и существенно нелинейных уравнений (методы гармонической линеаризации).

Основным допущением, которое позволяет перейти от нелинейного уравнения (2.5) к линейному уравнению (2.19), является допущение о малости отклонений всех входящих в рассмотрение координат от их значений, принятых при линеаризации за исходные. Поэтому линеаризованное уравнение (2.19) дает возможность исследовать лишь малые отклонения величин, характеризующих работу динамического звена, от исходного режима. Однако и такое рассмотрение в ряде случаев очень полезно.

Запись линейного дифференциального уравнения в форме (2.19) является довольно громоздкой и неудобной для практического применения. В автоматике при записи линейных уравнений принято выходную величину звена (или ее отклонение) и ее производные записывать в левой части уравнения, а все остальные члены переносить в правую часть. В такой форме записи уравнение (2.19) примет следующий вид:

С целью сокращения выкладок в теории автоматического управления широко используется символический метод записи линейных дифференциальных уравнений, в основе которого лежит условное (символическое) обозначение производных и интеграла:

Так называемый символ дифференцирования. Его не следует путать с комплексной переменной, фигурирующей в преобразовании Лапласа (см. § 4.2), которую иногда также обозначают буквой В отличие от преобразования Лапласа (и родственных ему операционных методов) символический метод, сокращая и унифицируя запись дифференциальных уравнений и их систем, не содержит никаких приемов, облегчающих их решение.

При использовании символических обозначений уравнение (2.20) записывается следующим образом:

Уравнение (2.25) часто переписывают в виде

чисто формально отрывая символ дифференцирования от обозначения дифференцируемой функции.

Если обозначить

то уравнение (2.26) запишется еще более компактно:

Уравнения (2.26) и (2.30) следует рассматривать просто как удобную сокращенную запись уравнения (2.20). Никакого другого смысла они не имеют. Полиномы (2.27)-(2.29), входящие в уравнение (2.30), называются символическими полиномами. Пользуясь преобразованием Лапласа, нетрудно доказать, что символические полиномы можно складывать и перемножать по правилам действий с обычными полиномами. Это обстоятельство в ряде случаев позволяет значительно упростить и облегчить преобразования систем дифференциальных уравнений (например, «свертывание» системы дифференциальных уравнений в одно уравнение - см. гл. 3).

В дальнейшем дифференциальные уравнения линейных звеньев систем управления будут записываться преимущественно в форме

(2.30). При этом часто оказывается удобным разделить все члены дифференциального уравнения на коэффициент при выходной координате звена (или ее отклонении). Так, поделив все члены уравнения (2.26) на коэффициент си получим уравнение

Поскольку соединять знаками сложения, вычитания и равенства можно лишь величины одинаковой размерности, все члены уравнения (2.31) имеют размерность величины Учитывая, что Мсек, нетрудно получить соотношения для размерностей коэффициентов уравнения (2.31):

Коэффициент называется постоянной времени звена, описываемого уравнением (2.31), а величины и - коэффициентами передачи звена по входной величине и по возмущению.

Уравнение (2.31) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка в стандартной форме записи. Аналогично к стандартному виду преобразуются и уравнения более высоких порядков.

Рассмотрим снова какой-либо установившийся режим работы звена, характеризующийся постоянством координат Уравнения показывают, что отклонения координат от исходных значений в таком режиме также будут постоянны. Отсюда следует, что и линеаризованное уравнение (2.31) для установившегося режима упрощается:

Положим, кроме того что Тогда

Это уравнение является линейным. Полные значения переменных в рассматриваемом режиме связаны нелинейной зависимостью:

Сопоставление уравнений (2.36) и (2.35) позволяет дать простую геометрическую интерпретацию процессу линеаризации. На самом деле, уравнение (2.36) в плоскости координат определяет статическую характеристику звена, соответствующую значению Эта характеристика может, например, иметь вид кривой, изображенной на рис. 2.3. Выбор режима (2.8), принимаемого за исходный при

линеаризации, на этой характеристике соответствует выбору точки с координатами Переход от полных значений координат к их приращениям в плоскости геометрически означает перенос начала координат из точки О в точку В координатах уравнение (2.35) представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент

Соотношение (2.37) определяет производную функции заданной в неявной форме уравнением (2.36). Поэтому окончательно

Рис. 2.3. К пояснению геометрического смысла линеаризации

Таким образом, геометрический смысл линеаризации применительно к установившимся режимам состоит в том, что реальная статическая характеристика звена заменяется касательной к ней, проведенной в точке соответствующей режиму, выбранному за исходный при линеаризации. В том случае, когда касательную к статической характеристике в точке провести нельзя (характеристика в этой точке имеет излом, разрыв, неоднозначность и т. д.), линеаризация относительно выбранного исходного режима невозможна. Поэтому часто уже по виду статической характеристики звена удается судить о возможности или невозможности линеаризации описывающего его дифференциального уравнения.

Рис. 2.3 наглядно показывает, что чем меньше отклонение величины от исходного значения тем ближе расположена касательная к статической характеристике звена и тем точнее, следовательно, линеаризация.

Коэффициент в уравнении (2.35) может быть определен графоаналитически при помощи соотношения

где - коэффициент, учитывающий масштабы, принятые по осям координат; - угол, составленный касательной к статической характеристике звена в точке с осью абсцисс.

Наличие второго члена в правой части уравнения (2.34) ничего принципиально нового не вносит и свидетельствует лишь о том, что в установившемся режиме отклонение выходной величины звена от исходного значения в общем случае определяется отклонением не только входной величины но и дополнительного воздействия (например, какого-либо возмущения).

Аналогично может быть проиллюстрирован процесс перехода от нелинейного дифференциального уравнения (2.5) к линейному уравнению (2.19). Суть перехода заключается здесь в приближенной замене многомерной поверхности, определяемой уравнением (2.5), касательной к ней многомерной плоскостью, задаваемой уравнением (2.19). В силу громоздкости и малой наглядности геометрических построений в многомерном пространстве такой подход не приносит практической пользы и подробно здесь не рассматривается.

Из сопоставления уравнений (2.5) и (2.19) видно, что результат линеаризации (2.19) может быть написан сразу, так как левая часть линеаризованного уравнения представляет собой сумму произведений частных производных функции по каждому из ее аргументов на отклонения этих аргументов от исходных значений.

Этот результат, полученный на примере дифференциального уравнения первого порядка, сохраняет силу для уравнений произвольного порядка. В частности, для уравнения (2.6) линеаризованное уравнение запишется в виде

Уравнение (2.40) можно записать в форме (2.30), если обозначить

Здесь символические полиномы имеют первую степень относительно Ранее отмечалось, что признаком стандартной формы записи дифференциальных уравнений является равенство единице первых отличных от нуля коэффициентов при младших степенях во всех участвующие в рассмотрении символических полиномах. Пусть, например, Тогда результат линеаризации уравнения (2.6) может быть записан следующим образом:

Поделив обе части последнего уравнения на коэффициент будем иметь

Предположим дополнительно, что Тогда уравнение (2.45) можно представить в виде

причем нетрудно показать, что

Уравнение (2.45) представляет собой один из примеров стандартной формы записи линейного дифференциального уравнения второго порядка. Как и для уравнения первого порядка, коэффициенты , имеющие размерность времени, называются постоянными времени звена, а величины и - коэффициентами передачи звена.

При пользовании стандартной формой записи удобно считать все постоянные времени и коэффициенты передачи звена неотрицательными числами. Поэтому, например, в том случае, когда при вычислениях по формулам (2.44) окажется, что уравнение (2.40) следует записывать так:

где коэффициенты

являются положительными.

Для уравнения (2.4) произвольного порядка результат линеаризации имеет следующий вид:

Обозначив

уравнение (2.47) можно записать так:

Уравнение (2.51) после введения символических полиномов

приводится к уравнению (2.30). Рассмотренные ранее линейные уравнения 1 и 2-го порядков являются частным случаем уравнения (2.51) при Это позволяет считать уравнение (2.51) общим уравнением обыкновенного линейного звена при наличии одного возмущающего воздействия. В правой части уравнения (2.51) фигурируют внешние воздействия умноженные на соответствующие символические многочлены. Поэтому по аналогии в том случае, когда на звено действует несколько возмущений общее уравнение звена можно записать следующим образом.

Общий метод линеаризации

В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения ᴇᴦο обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X1 и X2, а внешнее возмущение – через F(t).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида

Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.

Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х1, которое обозначим Х10. В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х1 будет иметь зна­чения где обозначает отклонение переменной X 1 от установившегося значения Х10.

Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем˸ а также .

Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.

Установившееся состояние звена определяется значениями Х10, Х20 и F0. Тогда уравнение (2.1) должна быть записано для установившего состояния в виде

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

где D – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных .

В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в данном уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях˸

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют из себянекоторые постоянные коэффициенты в том случае, в случае если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

Общий метод линеаризации - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Общий метод линеаризации" 2015, 2017-2018.

Метод гармонической линеаризации позволяет с достаточной для практики точностью исследовать устойчивость и точность нелинейных систем, используя методы, разработанные для линейных систем. Метод дает возможность определить наличие автоколебаний, а также их частоту и амплитуду.

Нелинейная система представляется в виде соединения линейной и нелинейной части (рис. 5).

Рис. 5 Схема нелинейной системы

Выходной сигнал нелинейной части системы в общем случае определяется выражением

Обозначим как передаточную функцию линейной части. Система уравнений примет вид

Найдем условия, при которых на выходе линейной части системы возникают гармонические колебания вида

В этом случае сигнал y(t) нелинейной части будет представлять собой также периодическую функцию, но отличную от синусоиды. Эту функцию можно разложить в ряд Фурье

В этом выражении a i и b i - коэффициенты Фурье. Для симметричных нелинейностей F 0 =0.

Основным условием, которое накладывает метод на линейную часть системы, является условие фильтра нижних частот. Считается, что линейная часть пропускает только первую гармонику колебаний. Данное допущение позволяет считать высшие гармоники в (7.19) несущественными и ограничиться рассмотрением только первой гармоники сигнала y(t).

то выражение (7.20) можно переписать в виде

Первое уравнение системы (7.17) примет вид

В этом выражении

Результат замены нелинейности F(x,sx) выражением

и называется гармонической линеаризацией. Величины q и q 1 называются коэффициентами гармонической линеаризации или просто гармоническими коэффициентами. Для однозначных нелинейностей обычно q 1 =0 . Формулы для гармонических коэффициентов, соответствующих типовым нелинейностям, приводятся в приложениях.

Принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной состоит в том, что при обычной линеаризации нелинейную характеристику заменяют прямой линией с определенной постоянной крутизной, а при гармонической линеаризации - прямой линией, крутизна которой зависит от амплитуды входного сигнала нелинейного элемента.

Рассмотрим методику определения амплитуды и частоты автоколебаний.

1). В характеристическом уравнении системы, полученном из (7.22) делаем замену s=j и получим

2). Из полученного выражения выделяем вещественную и мнимую части и приравниваем их нулю, что, по критерию Михайлова, соответствует нахождению системы на колебательной границе устойчивости.

• 3).Решение этой системы дает частоту и значения гармонических коэффициентов. Если эти значения вещественны и положительны, то в системе существует предельный цикл. По значениям гармонических коэффициентов можно определить амплитуду предельного цикла.
• 4). Общим признаком устойчивости предельного цикла, т.е. существования автоколебаний, является равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица при полученных значениях амплитуды и частоты предельного цикла. Часто более удобно использовать условие устойчивости предельного цикла, в основе которого лежит критерий устойчивости Михайлова.

Если это неравенство выполняется, то предельный цикл устойчив и в системе существуют автоколебания с определенными выше амплитудой и частотой. Индекс ”*” означает, что производные вычислены при уже известных значениях гармонических коэффициентах, амплитуды и частоты.

Пример. Допустим, что в уже рассмотренной выше системе стабилизации угла тангажа самолета рулевой привод нелинейный и его структурная схема имеет вид, показанный на рис. 7.6.

Рис.6 Схема нелинейного рулевого привода

Зададим следующие параметры нелинейности скоростной характеристикм рулевого привода: b = 0.12, k 1 = tg =c/b = 6.7. Коэффициенты гармонической линеаризации этой нелинейности определяются выражениями

Заменив в схеме нелинейную характеристику гармоническим коэффициентом, получим передаточную функцию рулевого привода

Подставим эту передаточную функцию в структурную схему системы стабилизации угла тангажа и определим передаточную функцию замкнутой системы

В характеристическом уравнении замкнутой системы сделаем замену s = j и выделим вещественную и мнимую части.

Из второго уравнения системы получим выражение для частоты: , и подставив его в первое уравнение, после преобразований получим

Подставив сюда ранее определенные выражения для коэффициентов характеристического уравнения, можно получить квадратное уравнение относительно гармонического коэффициента, решив которое, найдем

По этим значениям можно вычислить для двух случаев все коэффициенты характеристического уравнения и определить частоты, соответствующие каждому значению q(А). Получим:

Оба значения гармонического коэффициента и соответствующие частоты вещественны и положительны. Следовательно, в системе существуют два предельных цикла. Значения амплитуды предельного цикла определяются численно путем подбора такого значения при котором формула для коэффициента гармонической линеаризации дает значение, равное ранее вычисленному. В рассматриваемом случае получим

Теперь оценим устойчивость предельных циклов. Используем неравенство, полученное из критерия Михайлова, для чего определим

Производная от коэффициента гармонической линеаризации, входящая в полученные выражения, вычисляется по формуле

Расчеты по выше приведенным формулам показывают, что первый предельный цикл не устойчив и возникает он при (0) 0.1166(6.7 0 ). Если начальное отклонение меньше указанного, то процесс на входе нелинейного элемента затухает (рис.7. 7) и система устойчива.

Если начальное значение угла тангажа больше указанного, то процессы сходятся ко второму предельному циклу, который устойчив и, таким образом в системе возникают автоколебания (рис. 8).

Рис. 8

Путем моделирования определено, что область притяжения устойчивого предельного цикла лежит приблизительно в пределах (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).

Статистическое исследование нелинейных систем представляет собой весьма сложную задачу. Сравнительная простота методов статистического анализа линейных систем является естественной причиной попыток распространить эти методы на задачи приближенного исследования точности нелинейных систем. Так возникли методы линеаризации нелинейных характеристик систем.

Простейшим видом линеаризации нелинейных систем является линеаризация при помощи разложения всех нелинейных функций, входящих в уравнения системы, в ряд Тейлора и отбрасывание всех членов ряда выше первой степени. При этом каждая входящая в уравнение системы нелинейная функция заменяется приближенным линейным выражением

где - математическое ожидание случайной функции х.

Формула вида (XVII.1) позволяет лйнеаризовать уравнения нелинейной системы относительно флюктуаций сигналов в различных элементах системы. Это дает возможность применять для приближенного исследования точности нелинейных систем методы статистической теории линейных систем. Однако формулы вида (XVII. 1) применимы только к непрерывным функциям, имеющим непрерывные производные по аргументу в области его практически возможных значений.

Между тем системы автоматического регулирования часто содержат существенно нелинейные звенья, характеристики которых разрывны или имеют разрывные производные. К таким характеристикам можно отнести релейные характеристики, ограниченные зоны линейности и т. д. (см. кн. 1 гл. IV). Для линеаризации таких характеристик был развит метод статистической линеаризации , .

Статистическая линеаризация представляет собой замену нелинейного звена линейным относительно флюктуаций звеном с сохранением в определенном смысле уровня полезного сигнала и уровня флюктуаций на выходе. При этом нелинейная функция аппроксимируется постоянным эквивалентным линейным коэффициентом усиления. Естественно, что аппроксимация нелинейных функций постоянным коэффициентом недостаточно полно

отражает физическую картину преобразования случайного сигнала, так как не учитывается преобразование спектра сигнала нелинейным звеном. В связи с этим в работе была предложена аппроксимация безынерционных нелинейных звеньев статистически эквивалентной передаточной функцией, определяемой из отношения спектральной плотности сигнала на выходе нелинейного звена к спектральной плотности сигнала на входе.

Одновременно с этим была развита статистическая линеаризация нелинейных функций при условии, когда входной сигнал содержит периодическую составляющую. Этот метод в дальнейшем получил название совместной статистической и гармонической линеаризации.

Названные методы линеаризации позволяют свести систему нелинейных дифференциальных уравнений к системе линейных, эквивалентных исходной по первым двум моментам случайной функции. Следовательно, используя метод статистической линеаризации, можно определить лишь среднее значение и дисперсию случайной функции. При использовании совместной линеаризации можно определить так же первую гармонику периодических колебаний в нелинейной системе.

В связи с тем, что в нелинейной системе функция плотности вероятности случайного сигнала может существенным образом отличаться от нормальной и при этом для характеристики точности работы знание лишь первых двух моментов не является достаточным в работе 113], был развит метод обобщенной статистически эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева - Эрмита случайных функций и позволяющий определить высшие моменты этих функций в нелинейной системе.

Основная идея метода статистической линеаризации , заключается в аппроксимации существенно нелинейных преобразований линеаризованной зависимостью, эквивалентной нелинейному преобразованию по первым двум моментам случайных функций, т. е. по среднему значению и дисперсии. Разумеется, что эта эквивалентная линеаризованная зависимость имеет различный вид для разных существенно нелинейных элементов, а также зависит от вероятностных характеристик случайного сигнала на входе нелинейного элемента.

Рассмотрим нелинейное преобразование, соответствующее реальной статической характеристике безынерционного нелинейного элемента

Преобразуемый случайный процесс может быть представлен в виде

где математическое ожидание, а процесс с нулевым математическим ожиданием.

Представим сигнал на выходе нелинейного элемента в виде эквивалентного линейного преобразования входного сигнала

где К - эквивалентные статистические передаточные коэффициенты по математическому ожиданию и дисперсии, которые необходимо определить. Первое предположение, являющееся исходным при определении этих коэффициентов, - это соблюдение равенств математического ожидания и дисперсии для случайного сигнала на выходе реального нелинейного и эквивалентного линейного элементов. Тогда коэффициент может быть определен как отношение математического ожидания на выходе нелинейного элемента к математическому ожиданию сигнала на входе

Для коэффициента в этом случае будем иметь выражение

где - средние квадратические отклонения центрированных случайных сигналов соответственно на входе и на выходе нелинейного элемента.

Второе предположение, принимаемое при статистической линеаризации, основано на требовании минимума среднего квадрата разности между случайным сигналом на выходе нелинейного элемента и случайным сигналом на выходе эквивалентного линейного элемента. Это условие можно записать следующим образом:

Раскроем это выражение:

В формуле (XVI 1.8) черта сверху означает математическое ожидание. Взяв частные производные от выражения (XVI 1.8) по получим

где - взаимная корреляционная функция сигналов на входе и на выходе эквивалентного линейного элемента при

Использование при расчетах коэффициента (XVI 1.6) дает несколько завышенное значение дисперсии, а использование коэффициента (XVI 1.9) несколько заниженное. Поэтому при расчетах в качестве эквивалентного коэффициента по случайной составляющей можно взять следующее значение:

Заметим, что при статистической линеаризации в отличие от обычной линеаризации нелинейных функций, основанной на их разложении в ряд Тейлора в окрестности некоторой рабочей точки, средние характеристики сигналов могут быть рассчитаны точно.

Теперь рассмотрим общие формулы для определения эквивалентных коэффициентов усиления. Пусть задана одномерная нормальная плотность вероятности). Тогда формулы для коэффициентов будут иметь вид

Произведем расчет коэффициентов по формулам (XVII. 11), (XVII.12) и (XVII.13) для нелинейной характеристики типа кубической параболы, которая аналитически может быть представлена формулой

В

Рис. 2.2. Звено САР

большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения его обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X 1 иX 2 , а внешнее возмущение – через F(t).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида

Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.

Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х 1 , которое обозначим Х 10 . В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х 1 будет иметь зна­чениягде
обозначает отклонение переменнойX 1 от установившегося значения Х 10 .

А

Рис. 2.3. Процесс регулирования в звене

налогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем: а также
.

Далее можно записать:
;
и
, так как
и

Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.

Установившееся состояние звена определяется значениями Х 10 , Х 20 и F 0 . Тогда уравнение (2.1) может быть записано для установившего состояния в виде

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

где  – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных
.

В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в этом уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях:

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют собой некоторые постоянные коэффициенты в том случае, если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

Получение уравнения (2.4) является целью проделанной линеаризации. В теории автоматического регулирования принято записывать уравнения всех звеньев так, чтобы в левой части уравнения была выходная величина, а все остальные члены переносятся в правую часть. При этом все члены уравнения делятся на коэффициент при выходной величине. В результате уравнение (2.4) принимает вид

где введены следующие обозначения

. (2.6)

Кроме того, для удобства принято все дифференциальные уравнения записывать в операторной форме с обозначениями

Тогда дифференциальное уравнение (2.5) запишется в виде

Эту запись будем называть стандартной формой записи уравнения динамики звена.

Коэффициенты Т 1 и Т 2 имеют размерность времени – секунды. Это вытекает из того, что все слагаемые в уравнении (2.8) должны иметь одинаковую размерность, а например, размерность(илиpx 2) отличается от размерности х 2 на секунду в минус первой степени (
). Поэтому коэффициенты Т 1 и Т 2 называютпостоянными времени .

Коэффициент k 1 имеет размерность выходной величины, деленную на размерность входной. Он называетсякоэффициентом передачи звена. Для звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, используются также следующие термины: коэффициент усиления – для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; передаточное число – для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. п.

Коэффициент передачи характеризует статические свойства звена, так как в установившемся состоянии
. Следовательно, он определяет крутизну статической характеристики при малых отклонениях. Если изобразить всю реальную статическую характеристику звена
, то линеаризация дает
или
. Коэффициент передачи k 1 будет представлять собой тангенс угла наклона касательной в той точкеC(см. рис. 2.3), от которой отсчитываются малые отклонения х 1 и х 2 .

Из рисунка видно, что проделанная выше линеаризация уравнения справедлива для процессов регулирования, захватывающих такой участок характеристики АВ, на котором касательная мало отличается от самой кривой.

Кроме того, отсюда вытекает другой, графический способ линеаризации. Если известна статическая характеристика и точка C, определяющая установившееся состояние, около которого происходит процесс регулирования, то коэффициент передачи в уравнении звена определяется графически из чертежа по зависимости k 1 = tgcучетом масштабов чертежа и размерностиx 2 . Во многих случаяхграфический метод линеаризации оказывается более удобным и быстрее приводит к цели.

Размерность коэффициента k 2 равна размерности коэффициента передачи k 1 , умноженной на время. Поэтому часто уравнение (2.8) записывают в виде

где
– постоянная времени.

П

Рис. 2.4. Двигатель независимого возбуждения

остоянные времени Т 1 , Т 2 и Т 3 определяют динамические свойства звена. Этот вопрос будет рассмотрен подробно ниже.

Коэффициент k 3 представляет собой коэффициент передачи по внешнему возмущению.

В качестве примера линеаризации рассмотрим электрический двигатель, управляемый со стороны цепи возбуждения (рис. 2.4).

Для нахождения дифференциального уравнения, связывающего приращение скорости с приращением напряжения на обмотке возбуждения, запишем закон равновесия электродвижущих сил (эдс) в цепи возбуждения, закон равновесия эдс в цепи якоря и закон равновесия моментов на валу двигателя:

;

.

Во втором уравнении для упрощения опущен член, соответствующий эдс самоиндукции в цепи якоря.

В этих формулах R В и R Я – сопротивления цепи возбуждения и цепи якоря; І В и І Я – токи в этих цепях; U В и U Я – напряжения, приложенные к этим цепям; В – число витков обмотки возбуждения; Ф – магнитный поток; Ω – угловая скорость вращения вала двигателя; М – момент сопротивления от внешних сил;J– приведенный момент инерции двигателя; С Е и С М – коэффициенты пропорциональности.

Допустим, что до появления приращения напряжения, приложенного к обмотке возбуждения, существовал установившийся режим, для которого уравнения (2.10) запишутся следующим образом:

(2.11)

Если теперь напряжение возбуждения получит приращение U В = U В0 + ΔU В, то все переменные, определяющие состояние системы, также получат приращения. В результате будем иметь: І В = І В0 + ΔІ В; Ф = Ф 0 + ΔФ; I Я = I Я0 + ΔІ Я; Ω = Ω 0 + ΔΩ.

Подставляем эти значения в (2.10), отбрасываем малые высшего порядка и получаем:

(2.12)

Вычитая из уравнений (2.12) уравнения (2.11), получим систему уравнений для отклонений:

(2.13)

В

Рис. 2.5. Кривая намагничивания

этих уравнениях введен коэффициент пропорциональности между приращением потока и приращением тока возбуждения
определяемый из кривой намагничивания электродвигателя (рис. 2.5).

Совместное решение системы (2.13) даёт

где коэффициент передачи, ,

; (2.15)

электромагнитная постоянная времени цепи возбуждения, с,

(2.16)

где L B = a B – динамический коэффициент самоиндукции цепи возбуждения; электромагнитная постоянная времени двигателя, с,

. (2.17)

Из выражений (2.15) – (2.17) видно, что рассматриваемая система является по существу нелинейной, так как коэффициент передачи и «постоянные» времени, на самом деле – не постоянны. Их можно считать постоянными только приближенно для какого-то определенного режима при условии малости отклонений всех переменных от установившихся значений.

Интересным является частный случай, когда в установившемся режиме U B0 = 0; І B0 = 0; Ф 0 = 0 и Ω 0 = 0. Тогда формула (2.14) приобретает вид

. (2.18)

В этом случае статическая характеристика будет связывать приращение ускорения двигателя
и приращение напряжения в цепи возбуждения.