И.Н. Слинкина

Учебное пособие для студентов педагогических вузов

по специальности «Информатика»

Шадринск, 2003

Слинкина И.Н.

Исследование операций. Учебно-методическое пособие. – Шадринск: изд-во Шадринского государственного педагогического института, 2002. - 106 с.

Слинкина И.Н. – кандидат педагогических наук

В учебном пособии представлена теоретическая часть курса «Исследование операций». Оно предназначено для студентов очного и заочного отделений факультетов, реализующих специальность «Информатика».

© Шадринский государственный педагогический институт

© Слинкина И.Н., 2002

Вопросы к блокам по курсу «Исследование операций» 5

1.1. Предмет и задачи исследования операций 7

1.2. Основные понятия и принципы исследования операций 8

1.3. Математические модели операций 10

1.4. Понятие линейного программирования 12

1.5. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о наилучшем использовании ресурсов 13

1.6. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о выборе оптимальных технологий 15

1.7. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о смесях 16

1.8. Примеры экономических задач линейного программирования. Транспортная задача 17

1.9. Основные виды записи задач линейного программирования 19

1.10. Способы преобразования 21

1.11. Переход к канонической форме 22

1.12. Переход к симметричной форме записи 25

2.1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования 28

2.2. Решение задач линейного программирования графическим методом 29

2.3. Свойства решений задачи линейного программирования 34

2.4. Общая идея симплексного метода 35

2.5. Построение начального опорного плана при решении задач линейного программирования симплексным методом 36

2.6. Признак оптимальности опорного плана. Симплексные таблицы 40

2.7. Переход к нехудшему опорному плану. 44

2.8. Симплексные преобразования 46

2.9. Альтернативный оптимум (признак бесконечности множества опорных планов) 51

2.10. Признак неограниченности целевой функции 52

2.11. Понятие о вырождении. Монотонность и конечность симплексного метода. Зацикливание 53

2.12. Понятие двойственности для симметричных задач линейного программирования 54

3.1. Несимметричные двойственные задачи 57

3.2. Открытая и закрытая модели транспортной задачи 61

3.3. Построение начального опорного плана. Правило "Северо-западного угла" 63

3.4. Построение начального опорного плана. Правило минимального элемент 64

3.5. Построение начального опорного плана. Метод Фогеля 64

3.6. Метод потенциалов 65

3.7. Решение транспортных задач с ограничениями по пропускной способности 69

3.8. Примеры задач дискретного программирования. Задача о контейнерных перевозках. Задача о назначении 71

3.9. Сущность методов дискретной оптимизации 72

3.10. Задача выпуклого программирования 74

3.11. Метод множителей Лагранжа 75

3.12. Градиентные методы 77

4.1. Методы штрафных и барьерных функций 78

4.2. Динамическое программирование. Основные понятия. Сущность методов решения 79

4.3. Стохастическое программирование. Основные понятия 81

4.4. Матричные игры с нулевой суммой 83

4.5. Чистые и смешанные стратегии и их свойства 85

4.6. Свойства чистых и смешанных стратегий 88

4.7. Приведение матричной игры к ЗЛП 92

4.8. Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания 94

4.9. Потоки событий 96

4.10. Схема гибели и размножения 97

4.11. Формула Литтла 99

4.12. Простейшие системы массового обслуживания 101

Вопросы к блокам по курсу «Исследование операций»

Блок 1

1. Предмет и задачи исследования операций.

2. Основные понятия и принципы исследования операций.

3. Математические модели операций.

4. Понятие линейного программирования.

5. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача

6. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о выборе оптимальных технологий.

7. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о смесях.

8. Примеры экономических задач линейного программирования. Транспортная задача.

9. Основные виды записи задач линейного программирования.

10. Способы преобразования.

11. Переход к канонической форме.

12. Переход к симметричной форме записи.

Блок 2

1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

2. Решение задач линейного программирования графическим методом.

3. Свойства решений задачи линейного программирования.

4. Общая идея симплексного метода.

5. Построение начального опорного плана при решении задач линейного программирования симплексным методом.

6. Признак оптимальности опорного плана. Симплексные таблицы.

7. Переход к нехудшему опорному плану.

8. Симплексные преобразования.

9. Альтернативный оптимум (признак бесконечности множества опорных планов).

10. Признак неограниченности целевой функции.

11. Понятие о вырождении. Монотонность и конечность симплексного метода. Зацикливание.

12. Понятие двойственности для симметричных задач линейного программирования.

Блок 3

1. Несимметричные двойственные задачи.

2. Открытая и закрытая модели транспортной задачи.

3. Построение начального опорного плана. Правило "Северо-западного угла".

4. Построение начального опорного плана. Правило минимального элемент.

5. Построение начального опорного плана. Метод Фогеля.

6. Метод потенциалов.

7. Решение транспортных задач с ограничениями по пропускной способности.

8. Примеры задач дискретного программирования. Задача о контейнерных перевозках. Задача о назначении.

9. Сущность методов дискретной оптимизации.

10. Задача выпуклого программирования.

11. Метод множителей Лагранжа.

12. Градиентные методы.

Блок 4

1. Метод штрафных и барьерных функций.

2. Динамическое программирование. Основные понятия. Сущность методов решения.

3. Стохастическое программирование. Основные понятия.

4. Матричные игры с нулевой суммой.

5. Чистые и смешанные стратегии.

6. Свойства чистых и смешанных стратегий.

7. Приведение матричной игры к ЗЛП

8. Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания.

9. Потоки событий.

10. Схема гибели и размножения.

11. Формула Литтла.

12. Простейшие системы массового обслуживания.

Блок 1.

Предмет и задачи исследования операций

Современное состояние науки и техники, в частности, развитие компьютерных средств расчета и математического обоснования теорий позволило значительно упростить решение многих проблем, поставленных перед различными отраслями науки. Многие из проблем сводятся к решению вопроса об оптимизации производства, оптимальному управлению процессами.

Потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые удобно объединять под названием «исследование операций».

Определение: Под исследованием операций будем понимать применение математических, количественных методов для обоснование решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Пусть предпринимается какое-то мероприятие, направленное к достижению определенной цели. У лица (или группы лиц), организующего мероприятие, всегда имеется какая-то свобода выбора: оно может быть организовано тем или иным способом. Решение и есть какой-то выбор из ряда возможностей, имеющихся у организатора.

Необходимость принятия решений и проверки выдвинутой гипотезы решения математически подтверждают следующие примеры:

Задача 1. О наилучшем использовании ресурсов.

На предприятии выпускается несколько видов продукции. Для их изготовления используются некоторые ресурсы (в том числе человеческие, энергетические и т.д.). Необходимо рассчитать, каким образом спланировать работу предприятия, чтобы затраты ресурсов были минимальны, а прибыль – максимальной.

Задача 2. О смесях.

Необходимо подготовить смесь, обладающую определенными свойствами. Для этого можно использовать некоторые "продукты" (для расчета диет – продукты питания, для кормовых смесей – продукты питания для животных, для технических смесей – сплавы, жидкости технического назначения). задача заключается в выборе оптимального количества продуктов (по цене) для получения оптимального количества смеси.

Задача 3. Транспортная задача.

Существует сеть предприятий, выпускающих однотипную продукцию одного качества и сеть потребителей этой продукции. Потребители и поставщики связаны путями сообщений (автодороги, железнодорожные линии, авиационные линии). Определены тарифы перевозок. Необходимо рассчитать оптимальный план перевозок продукции, чтобы затраты при перевозке были минимальны, запросы всех потребителей удовлетворены, а у поставщиков весь товар вывезен.

В каждом из приведенных примеров речь идет о каком-то мероприятии, преследующем определенную цель. Заданы некоторые условия, характеризующие обстановку (в частности, средства, которыми можно распоряжаться). В рамках этих условий требуется принять такое решение, чтобы задуманное мероприятие было в некотором смысле более выгодным.

В соответствии с этими общими чертами вырабатываются и общие приемы решения подобных задач, в совокупности составляющие методологическую схему и аппарат исследования операций.

В настоящее время большое распространение принимают автоматизированные системы управления (АСУ), основанные на использовании компьютерной техники. Создание АСУ невозможно без предварительного обследования управляемого процесса методами математического моделирования. С ростом масштабов и сложности мероприятий математические методы обоснования решений приобретают все большую роль.

Основные понятия и принципы исследования операций

Определение: Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

Операция есть всегда управляемое мероприятие, т.е. от расчетов зависит, каким способом выбрать параметры, характеризующие ее организацию. «Организация» здесь понимается в широком смысле слова, включая набор технических средств, применяемых в операции.

Определение: Всякий определенный выбор зависящий от решающих параметров называется решением.

Определение: Оптимальными называются решения, по тем или иным причинам предпочтительные перед другими.

Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Иногда в результате исследования удается указать одно-единственное строго определенное решение, гораздо чаще – выделить область практически равноценных оптимальных решений, в пределах которой может быть сделан конечный выбор.

Само принятие решений выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица, чаще – группы лиц, которым представляется право окончательного выбора и на которых возложена ответственность за этот выбор.

Определение: Параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения.

В качестве элементов решения могут фигурировать различные числа, векторы, функции, физические признаки и т.д. Для упрощения всю совокупность элементов решения будем обозначать х.

Кроме элементов решения в любой задачи исследования операций имеются еще и заданные условия, которые фиксированы в условии задачи и нарушены быть не могут. В частности, к таким условиям относятся средства (материальные, технические, людские), которыми можно распоряжаться, и иные ограничения, налагаемые на решение. В своей совокупности они образуют так называемое «множество возможных решений». Обозначим это множество Х, а тот факт, что решение х принадлежит этому множеству, будем записывать: хÎХ.

Чтобы сравнивать между собой по эффективности разные решения, нужно иметь какой-то количественный критерий, так называемый показатель эффективности (целевая функция). Этот показатель выбирается так, чтобы он отражал целевую направленность операции. Лучшим будет считаться то решение, которое в максимальной степени способствует достижению поставленной цели. Чтобы выбрать показатель эффективности Z, нужно прежде всего определить, к чему должно привести решение задачи. Выбирая решение, предпочтение отдается такому, которое обращает показатель эффективности Z в максимум или в минимум. Например, доход от операции хотелось бы обратить в максимум; если же показателем эффективности являются затраты, их желательно обратить в минимум.

Очень часто выполнение операции сопровождается действием случайных факторов: «капризов» природы, колебания спроса и предложения, отказы технических устройств и т.д. В таких случаях обычно в качестве показателя эффективности берется не сама величина, которую хотелось бы максимизировать (минимизировать), а среднее значение (математическое ожидание).

Задача выбора показателя эффективности решается для каждой проблемы индивидуально.

Задача 1. О наилучшем использовании ресурсов.

Задача операции – произвести максимальное количество товаров. Показатель эффективности Z – прибыль от продажи товаров при минимальных затратах на ресурсы (max Z).

Задача 2. О смесях.

Естественный показатель эффективности, подсказанный формулировкой задачи, - это цена необходимых для смеси продуктов при условии необходимости сохранения заданных свойств смеси(min Z).

Задача 3. Транспортная задача.

Задача операции – обеспечить снабжение товарами потребителей при минимальных расходах на перевозки. Показатель эффективности Z – суммарные расходы на перевозки товаров за единицу времени (min Z).

Под операцией мы будем понимать любое мероприятие (или систему действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению определенной цели.

Примеры операций.

• 1. Система мероприятий, направленная к повышению надежности технического устройства.
• 2. Отражение воздушного налета средствами ПВО.
• 3. Размещение заказов на производство оборудования.
• 4. Разведывательный поиск группы самолетов в тылу противника.
• 5. Запуск группы искусственных спутников Земли для установления системы телевизионной связи.
• 6. Система перевозок, обеспечивающая снабжение ряда пунктов определенного вида товарами.

Операция всегда является управляемым мероприятием, т. е. от нас зависит выбрать тем или другим способом какие-то параметры, характеризующие способ ее организации. «Организация» здесь понимается в широком смысле слова, включая и выбор технических средств, применяемых в операции. Например, организуя отражение воздушного налета средствами ПВО, мы можем, в зависимости от обстановки, выбирать тип и свойства применяемых технических средств (ракет, установок) или же, при заданных технических средствах, решать только задачу рациональной организации самой процедуры отражения нa^eтa (распределение целей между установками, количество ракет, направляемых на каждую цель и т. д.).

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров мы будем называть решением.

Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными. Оптимальными называются решения, которые, по тем или иным соображениям, предпочтительнее других.

Основная задача исследования операций--предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Заметим, что само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица (или группы лиц), которым предоставлено право окончательного выбора. При этом выборе ответственные за него лица могут учитывать, наряду с рекомендациями, вытекающими из математического расчета, еще ряд соображений (количественного и качественного характера), которые не были учтены расчетом.

Таким образом, исследование операций не ставит себе задачей полную автоматизацию принятия решений, полное исключение из этого процесса размышляющего, оценивающего, критикующего человеческого сознания. В конечном итоге, решение всегда принимается человеком (или группой лиц); задача исследования операций -- подготовить количественные данные и рекомендации, облегчающие человеку принятие решения*).

*) Даже в тех случаях, когда принятие решения, казалось бы, полностью автоматизировано (например, в процессе автоматического управления предприятием или космическим кораблем), роль человека не устраняется, ибо, в конечном счете, от него зависит выбор алгоритма, по которому осуществляется управление.

Наряду с основной задачей -- обоснованием оптимальных решений -- к области исследования операций относятся и другие задачи, такие как

• -- сравнительная оценка различных вариантов организации операции;
• -- оценка влияния на результат операции различных параметров (элементов решения и заданных условий);
• -- исследование так называемых «узких мест», то есть элементов управляемой системы, нарушение работы которых особенно сильно сказывается на успехе операции, и т. д.

Эти «вспомогательные» задачи исследования операций приобретают особую важность, когда мы рассматриваем данную операцию не изолированно, а как составной элемент целой системы операций. Так называемый «системный» подход к задачам исследования операций требует учета взаимной зависимости и обусловленности целого комплекса мероприятий. Разумеется, в принципе всегда можно объединить систему операций в одну сложную операцию более «высокого порядка», но на практике это не всегда удобно (и не всегда желательно), и в ряде случаев целесообразно выделять в качестве «операций» отдельные элементы системы, а окончательное решение принимать с учетом роли и места данной операции в системе.

Итак, рассмотрим отдельную операцию О. Размышляя над организацией операции, мы стремимся сделать ее наиболее эффективной. Под эффективностью операции разумеется степень ее приспособленности к выполнению стоящей перед ней задачи. Чем лучше организована операция, тем она эффективнее.

Чтобы судить об эффективности операции и сравнивать между собой по эффективности различно организованные операции, нужно иметь некоторый численный критерий оценки или показатель эффективности (в некоторых руководствах показатель эффективности называют «целевой функцией»).

Будем в дальнейшем обозначать показатель эффективности буквой W.

Конкретный вид показателя эффективности W, которым следует пользоваться при численной оценке эффективности, зависит от специфики рассматриваемой операции, ее целевой направленности, а также от задачи исследования, которая может быть поставлена в той или другой форме.

Многие операции выполняются в условиях, содержащих элемент случайности (например, операции, связанные с колебаниями спроса и предложения, с движением народонаселения, заболеваемостью, смертностью, а также все военные операции). В этих случаях исход операции, даже организованной строго определенным образом, не может быть точно предсказан, остается случайным. Если это так, то в качестве показателя эффективности W выбирается не просто характеристика исхода операции, а ее среднее значение (математическое ожидание). Например, если задача операции -- получение максимальной прибыли, то в качестве показателя эффективности берется средняя прибыль. В других случаях, когда задачей операции является осуществление вполне определенного события, в качестве показателя эффективности берут вероятность этого события (например, вероятность того, что в результате воздушного налета данная группа целей будет поражена).

Правильный выбор показателя эффективности -- необходимое условие полезности исследования, применяемого для обоснования решения.

Рассмотрим ряд примеров, в каждом из которых показатель эффективности W выбран в соответствии с целевой направленностью операции.

Пример 1. Рассматривается работа промышленного предприятия под углом зрения его рентабельности, причем проводится ряд мер с целью повышения этой рентабельности Показатель эффективности -- прибыль (или средняя прибыль), приносимая предприятием за хозяйственный год

Пример 2 Группа истребителей поднимается в воздух для перехвата одиночного самолета противника Цель операции -- сбить самолет. Показатель эффективности -- вероятность поражения (сбития) самолета

Пример 3. Ремонтная мастерская занимается обслуживанием машин; ее рентабельность определяется количеством машин, обслуженных в течение дня. Показатель эффективности -- среднее число машин, обслуженных за день («среднее» потому, что фактическое число случайно)

Пример 4. Группа радиолокационных станций в определенном районе ведет наблюдение за воздушным пространством. Задача группы -- обнаружить любой самолет, если он появится в районе Показатель эффективности -- вероятность обнаружения любого самолета, появившегося в районе.

Пример 5. Предпринимается ряд мер по повышению надежности электронной цифровой вычислительной машины (ЭЦВМ). Цель операции -- уменьшить частоту появления неисправностей («сбоев») ЭЦВМ, или, что равносильно, увеличить средний промежуток времени между сбоями («наработку на отказ»). Показатель эффективности -- среднее время безотказной работы ЭЦВМ (или среднее относительное время исправной работы).

Пример 6. Проводится борьба за экономию средств при производстве определенного вида товаров. Показатель эффективности--количество (или среднее количество) сэкономленных средств.

Во всех рассмотренных примерах показатель эффективности, каков бы он ни был, требовалось обратить в максимум («чем больше, тем лучше»). Вообще, это не обязательно: в исследовании операций часто пользуются показателями, которые требуется обратить не в максимум, а в минимум («чем меньше, тем лучше»). Например, в примере 4 можно было бы в качестве показателя эффективности взять «вероятность тоге, что появившийся самолет не будет обнаружен» -- этот показатель желательно сделать как можно меньше. В примере 5 за показатель эффективности можно было бы принять «среднее число сбоев за сутки», которое желательно минимизировать. Если оценивается какая-то система, обеспечивающая наведение снаряда на цель, то в качестве показателя эффективности можно выбрать среднее значение «промаха» снаряда (расстояния от траектории до центра цели), которое желательно сделать как можно меньше. Наряд средств, выделяемых на выполнение какой-либо задачи, тоже желательно сделать минимальным, равно как и стоимость предпринимаемой системы мероприятий. Таким образом, во многих задачах исследования операций разумное решение должно обеспечивать не максимум, а минимум некоторого показателя.

Очевидно, что случай, когда показатель эффективности W надо обратить в минимум, легко сводится к задаче максимизации (для этого достаточно, например, изменить знак величины W). Поэтому в дальнейшем, рассматривая в общем виде задачу исследования операций, мы будем для простоты говорить только о случае, когда W требуется обратить в м а к с и м у м. Что касается практических конкретных задач, то мы будем пользоваться как показателями эффективности, которые требуется максимизировать, так и теми, которые требуется минимизировать.

Глава 1. Предмет и задачи исследования операций.

§ 1. Что такое исследование операций и чем оно занимается.

§ 2. Основные понятия и принципы исследования операции.

§ 3. Математические модели операций.

Глава 2. Разновидности задач исследования операций и подходов к их решению.

§ 4. Прямые и обратные задачи исследования операций. Детерминированные задачи.

§ 5. Проблема выбора решения в условиях неопределенности.

§ 6. Многокритериальные задачи исследования операций. «Системный подход».

Глава 3. Линейное программирование.

§ 7. Задачи линейного программирования.

§ 8. Основная задача линейного программирования.

§ 9. Существование решения 03ЛП и способы его нахождения.

§ 10. Транспортная задача линейного программирования.

§ 11. Задачи целочисленного программирования. Понятие о нелинейном программировании.

Глава 4. Динамическое программирование.

§ 12. Метод динамического программирования.

§ 13. Примеры решения задач динамического программирования.

§ 14. Задача динамического программирования в общем виде. Принцип оптимальности.

Глава 5.Марковские случайные процессы.

§ 15. Понятие о марковском процессе.

§ 16. Потоки событий.

§ 17. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний.

Глава 6. Теория массового обслуживания.

§ 18. Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания.

§ 19. Схема гибели и размножения. Формула Литтла.

§ 20. Простейшие системы массового обслуживания и их характеристики.

§ 21. Более сложные задачи теории массового обслуживания.

Глава 7. Статистическое моделирование случайных процессов (метод Монте-Карло).

§ 22. Идея, назначение и область применимости метода.

§ 23. Единичный жребий и формы его организации.

§ 24. Определение характеристик стационарного случайного процесса по одной реализации.

Глава 8. Игровые методы обоснования решении.

§ 25. Предмет и задачи теории игр.

§ 26. Антагонистические матричные игры.

§ 27. Методы решения конечных игр.

§ 28. Задачи теории статистических решении.

ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Основные понятия и принципы исследования операций

В этом параграфе мы познакомимся с терминологией, основными понятиями и принципами науки «исследование операций».

Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели (все мероприятия, рассмотренные в пунктах 1 - 8 предыдущего параграфа, являются «операциями»).

Операция есть всегда управляемое мероприятие, т. е. от нас зависит, каким способом выбрать некоторые параметры, характеризующие её организацию. «Организация» здесь понимается в широком смысле слова, включая набор технических средств, применяемых в операции.

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными. Оптимальными называются решения, по тем или другим признакам предпочтительные перед другими. Цель исследования операций - предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Иногда (относительно редко) в результате исследования удается указать одно-единственное строго оптимальное решение, гораздо чаще - выделить область практически равноценных оптимальных (разумных) решений, в пределах которой может быть сделан окончательный выбор.

Заметим, что само принятие решения выходит за рамки исследования операции и относится к компетенции ответственного лица, чаще - группы лиц, которым предоставлено право окончательного выбора и на которых возложена ответственность за этот выбор. Делая выбор, они могут учитывать, наряду с рекомендациями, вытекающими из математического расчета, еще ряд соображений (количественного и качественного характера), которые этим расчетом не были учтены.

Непременное присутствие человека (как окончательной инстанции, принимающей решение) не отменяется даже при наличии полностью автоматизированной системы управления, которая, казалось бы, принимает решение без участия человека. Нельзя забывать о том, что само создание управляющего алгоритма, выбор одного из возможных его вариантов, есть тоже решение, и весьма ответственное. По мере развития управляющих автоматов функции человека не отменяются, а просто перемещаются с одного, элементарного, уровня на другой, высший. Кроме того, ряд автоматизированных систем управления предусматривает в ходе управляемого процесса активное вмешательство человека.

Те параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения. В качестве элементов решения могут фигурировать различные числа, векторы, функции, физические признаки и т. д. Например, если составляется план перевозок однородных грузов из пунктов отправления А 1 ,А 2 ,…, А m в пункты назначения В 1 ,В 2 , ..., В n , то элементами решения будут числа x ij , показывающие, какое количество груза будет отправлено из 1-го пункта отправления А i в j -й пункт назначения В j . Совокупность чисел x 11 , x 12, …, x 1 n , …, x m 1 , x m 2 , …, x mn образует решение.

В простейших задачах исследования операций количество элементов решения может быть сравнительно невелико. Но в большинстве задач, имеющих практическое значение, число элементов решения очень велико, в чем читатель может убедиться, попытавшись самостоятельно выделить и «назвать по имени» элементы решения в примерах 1 - 8 предыдущего параграфа. Для упрощения мы будем всю совокупность элементов решения обозначать одной буквой x и говорить «решение х».

Кроме элементов решения, которыми мы, в каких-то пределах, можем распоряжаться, в любой задаче исследования операций имеются еще и заданные, «дисциплинирующие» условия, которые фиксированы с самого начала и нарушены быть не могут (например, грузоподъемность машины; размер планового задания;

весовые характеристики оборудования и т. п.). В частности, к таким условиям относятся средства (материальные, технические, людские), которыми мы вправо распоряжаться, и иные ограничения, налагаемые на решение. В своей совокупности они формируют так называемое «множество возможных решений».

Обозначим это множество опять-таки одной буквой X, а тот факт, что решение х принадлежит этому множеству, будем записывать в виде формулы: х X (читается: элемент х входит в множество X).

Речь идет о том, чтобы в множестве возможных решений Х выделить те решения х (иногда - одно, а чаще - целую область решений), которые с той или другой точки зрения эффективнее (удачнее, предпочтительнее) других. Чтобы сравнивать между собой по эффективности разные решения, нужно иметь какой-то количественный критерий, так называемый показатель эффективности (его часто называют «целевой функцией»). Этот показатель выбирается так, чтобы он отражал целевую направленность операции. «Лучшим» будет считаться то решение, которое в максимальной степени способствует достижению поставленной цели. Чтобы выбрать, «назвать по имени» показатель эффективности W, нужно, прежде всего, спросить себя: чего мы хотим, к чему стремимся, предпринимая операцию? Выбирая решение, мы, естественно, предпочтем такое, которое обращает показатель эффективности W в максимум (или же в минимум). Например, доход от операции хотелось бы обратить в максимум; если же показателем эффективности являются затраты, их желательно обратить в минимум. Если показатель эффективности желательно максимизировать, мы это будем записывать в виде W => mах, а если минимизировать - W => min.

Очень часто выполнение операции сопровождается действием случайных факторов («капризы» погоды, колебания спроса и предложения, отказы технических устройств и т. д.). В таких случаях обычно в качестве показателя эффективности берется не сама величина, которую хотелось бы максимизировать (минимизировать), а ее среднее значение (математическое ожидание).

В некоторых случаях бывает, что операция, сопровождаемая случайными факторами, преследует какую-то вполне определенную цель А, которая может быть только достигнута полностью или совсем не достигнута (схема «да-нет»), и никакие промежуточные результаты нас не интересуют. Тогда в качестве показателя эффективности выбирается вероятность достижения этой цели Р (А ). Например, если ведется стрельба по какому-то объекту с непременным условием уничтожить его, то показателем эффективности будет вероятность уничтожения объекта.

Неправильный выбор показателя эффективности очень опасен. Операции, организованные под углом зрения неудачно выбранного критерия, могут привести к неоправданным затратам и потерям (вспомним хотя бы пресловутый «вал» в качестве основного критерия оценки хозяйственной деятельности предприятий).

Для иллюстрации принципов выбора показателя эффективности вернемся опять к примерам 1 - 8 § 1, выберем для каждого из них естественный показатель эффективности и укажем, требуется его максимизировать или минимизировать. Разбирая примеры, нужно иметь в виду, что не во всех из них выбор показателя эффективности однозначно диктуется словесным описанием задачи, так что по этому вопросу возможны расхождения между читателем и автором.

1. План снабжения предприятий. Задача операции - обеспечить снабжение сырьем при минимальных расходах на перевозки. Показатель эффективности R - суммарные расходы на перевозки сырья за единицу времени, например, месяц (R => min).

2. Постройка участка магистрали. Требуется так спланировать строительство, чтобы закончить его как можно скорее. Естественным показателем эффективности было бы время завершения стройки, если бы оно не было связано со случайными факторами (отказы техники, задержки в выполнении отдельных работ). Поэтому в качестве показателя эффективности можно выбрать среднее ожидаемое время Т окончания стройки (Т => min).

3. Продажа сезонных товаров. В качестве показателя эффективности можно взять среднюю ожидаемую прибыль П от реализации товаров за сезон (П => mах).

4. Снегозащита дорог. Речь идет о наиболее выгодном экономически плане снегозащиты, поэтому в качестве показателя эффективности можно выбрать средние за единицу времени (например, за год) расходы R на содержание и эксплуатацию дорог, включая расходы, связанные как с сооружением защитных устройств, так и с расчисткой дорог и задержками транспорта (R => min).

5. Противолодочный рейд. Так как рейд имеет вполне определенную цель А - уничтожение лодки, то в качестве показателя эффективности следует выбрать вероятность Р (A ) того, что лодка будет уничтожена.

6. Выборочный контроль продукции. Естественный показатель эффективности, подсказанный формулировкой задачи, это средние ожидаемые расходы R на контроль за единицу времени, при условии, что система контроля обеспечивает заданный уровень качества, например, средний процент брака не выше заданного (R => min).

7. Медицинское обследование. В качестве показателя эффективности можно выбрать средний процент (долю) Q больных и носителей инфекции, которых удалось выявить (Q => шах).

8. Библиотечное обслуживание. В формулировке задачи сознательно допущена некоторая нечеткость:

неясно, что значит «наилучшее обслуживание абонентов» или «удовлетворение их запросов в максимальной мере». Если о качестве обслуживания судить по времени, которое запросивший книгу абонент ждет ее получения, то в качестве показателя эффективности можно взять среднее время Т ожидания книги читателем, подавшим на нее заявку (Т => min). Можно подойти к вопросу и с несколько иных позиций, выбрав в качестве показателя эффективности среднее число М книг, выданных за единицу времени (М => mах).

Рассмотренные примеры специально подобраны настолько простыми, чтобы выбор показателя эффективности был сравнительно нетруден и прямо диктовался словесной формулировкой задачи, ее (почти всегда) однозначной целевой направленностью. Однако на практике это далеко не всегда бывает так. В этом читатель может убедиться, попытавшись, например, выбрать показатель эффективности работы городского транспорта. Что взять в качестве такого показателя? Среднюю скорость передвижения пассажиров по городу? Или среднее число перевезенных пассажиров? Или среднее количество километров, которое придется пройти пешком человеку, которого транспорт не может доставить к нужному месту? Тут есть над чем поразмыслить!

К сожалению, в большинстве задач, имеющих практическое значение, выбор показателя эффективности не прост и решается неоднозначно. Для сколько-нибудь сложной задачи типично положение, когда эффективность операции не может быть исчерпывающим образом охарактеризована одним единственным числом - на помощь ему приходится привлекать другие. С такими «многокритериальными» задачами мы познакомимся в § 6.

Примеры решения задач динамического программирования

В этом параграфе мы рассмотрим (и даже решим до конца) несколько простых (до крайности упрощенных) примеров задач динамического программирования

1. Прокладка наивыгоднейшего пути между двумя пунктами. Вспомним задачу 4 предыдущего параграфа и решим ее до конца в крайне (и намеренно) упрощенных условиях. Нам нужно соорудить путь, соединяющий

два пункта А и В, из которых второй лежит к северо-востоку от первого. Для простоты допустим,. что прокладка пути состоит из ряда шагов, и на каждом шаге мы можем двигаться либо строго на восток, либо строго на север; любой путь из А в В представляет собой ступенчатую ломаную линию, отрезки которой параллельны одной из координатных осей (рис. 13.1). Затраты на сооружение каждого из таких отрезков известны. Требуется проложить такой путь из А в В, при котором суммарные затраты минимальны.

Как это сделать? Можно поступить одним из двух способов: либо перебрать все возможные варианты пути, и выбрать тот, на котором затраты минимальны (а при большом числе отрезков это очень и очень трудно!); либо разделить процесс перехода из А в В на отдельные шаги (один шаг - один отрезок) и оптимизировать управление по шагам. Оказывается, второй способ несравненно удобнее! Тут, как и везде в исследовании операций, сказываются преимущества целенаправленного, организованного поиска решения перед наивным «слепым» перебором.

Продемонстрируем, как это делается, на конкретном примере. Разделим расстояние от А до В в восточном направлении, скажем, на 7 частей, а в северном - на 5 частей (в принципе дробление может быть сколь угодно мелким). Тогда любой путь из А в В состоит из т = 7 + 5 == 12 отрезков, направленных на восток или на север (рис. 13.2). Проставим на каждом из отрезков число, выражающее (в каких-то условных единицах) стоимость прокладки пути по этому отрезку. Требуется выбрать такой путь из А в В, для которого сумма чисел, стоящих на отрезках, минимальна.

Будем рассматривать сооружаемый путь как управляемую систему S, перемещающуюся под влиянием управления из начального состояния А в конечное В. Состояние этой системы перед началом каждого шага будет характеризоваться двумя координатами: восточной (х) и северной (у), обе - целочисленные (0 х 5 7, 0 у 5). Для каждого из состояний системы (узловой точки прямоугольной сетки на рис. 13.2) мы должны найти условное оптимальное управление: идти нам из этой точки на север (управление «с») или на восток (управление «в»). Выбирается это управление так, чтобы стоимость всех оставшихся до конца шагов (включая данный) была минимальна. Эту стоимость мы по-прежнему будем называть «условным оптимальным выигрышем» (хотя в данном случае это не «выигрыш», а «проигрыш») для данного состояния системы S перед началом очередного шага.

Процедуру условной оптимизации будем разворачивать в обратном направлении - от конца к началу. Прежде всего произведем условную оптимизацию последнего, 12-го шага. Рассмотрим отдельно правый верхний угол нашей прямоугольной сетки (рис. 13.3). Где мы можем находиться после 11-го шага? Только

там, откуда за один (последний) шаг можно попасть в В, т. е. в одной из точек В 1 или В 2 . Если мы находимся в точке В 1 , у нас нет выбора (управление вынужденное): надо идти на восток, и это обойдется нам в 10 единиц. Запишем это число 10 в кружке у точки В 1 , а оптимальное управление покажем короткой стрелкой, исходящей из В 1 и направленной на восток. Для точки В 2 управление тоже вынужденное (север), расход до конца равен 14, мы его запишем в кружке у точки В 2 . Таким образом, условная оптимизация последнего шага сделана, и условный оптимальный выигрыш для каждой из точек В 1 , В 2 найден и записан в соответствующем кружке.

Теперь давайте оптимизировать предпоследний (11-й) шаг. После предпредпоследнего (10-го) шага мы могли оказаться в одной из точек С 1 , С 2 , С 3 (рис. 13.4). Найдем для каждой из них условное оптимальное управление и условный оптимальный выигрыш. Для точки С 1 управление вынужденное: идти на восток;

обойдется это нам до конца в 21 единицу (11 на данном шаге, плюс 10, записанных в кружке при В 1). Число 21 записываем в кружке при точке С 1 . Для точки С 2 управление уже не вынужденное: мы можем идти как на восток, так и на север. В первом случае мы затратим на данном шаге 14 единиц и от В 2 до конца - еще 14, всего 28 единиц. Если пойдем на север, затратим 13 + 10, всего 23 единицы. Значит, условное оптимальное управление в точке С 2 - идти на север (отмечаем это стрелкой, а число 23 записываем в кружке у С 2), Для точки С 3 управление снова вынужденное («с»), обойдется это до конца в 22 единицы (ставим стрелку на север, число 22 записываем в кружке при С 3 ).

Аналогично, «пятясь» от предпоследнего шага назад, найдем для каждой точки с целочисленными координатами условное оптимальное управление («с» или «в»), которое обозначим стрелкой, и условный оптимальный выигрыш (расход до конца пути), который запишем в кружке. Вычисляется он так: расход на данном шаге складывается с уже оптимизированным расходом, записанным в кружке, куда ведет стрелка. Таким образом, на каждом шаге мы оптимизируем только этот шаг, а следующие за ним - уже оптимизированы. Конечный результат процедуры оптимизации показан на рис. 13.5.

Таким образом, условная оптимизация уже выполнена: в какой бы из узловых точек мы ни находились, мы уже знаем, куда идти (стрелка) и во что нам обойдется путь до конца (число в кружке). В кружке при точке А записан оптимальный выигрыш на все сооружение пути из А в В:

W* = 118.

Теперь остается построить безусловное оптимальное управление - траекторию, ведущую из А и В самым дешевым способом. Для этого нужно только «слушаться стрелок», т. е. прочитать, что они предписывают делать на каждом шаге. Такая оптимальная траектория отмечена на рис. 13.5 дважды обведенными кружками. Соответствующее безусловное оптимальное управление будет:

х* = (с, с, с, с, в, в, с, в, в, в, в, в),

т. е. первые четыре шага мы должны делать на север, следующие два - на восток, затем опять один на север и остальные пять - на восток. Задача решена.

Заметим, что в ходе условной оптимизации мы можем столкнуться со случаем, когда оба управления для какой-то точки на плоскости являются оптимальными, т. е. приводят к одинаковому расходу средств от этой точки до конца, Например, в точке с координатами (5; 1) оба управления «с» и «в» являются оптимальными и дают расход до конца равным 62. Из них мы произвольно выбираем любое (в нашем случае мы выбрали «с»; с тем же успехом мы могли бы выбрать «в»). Такие случаи неоднозначного выбора оптимального управления постоянно встречаются в динамическом программировании; в дальнейшем мы специально отмечать их не будем, а попросту выберем произвольно любой из равноценных вариантов. От этого произвола, разумеется, может зависеть оптимальное управление всем процессом, но не оптимальный выигрыш. Вообще, в задачах динамического программирования (как и в задачах линейного) решение далеко не всегда единственное.

А теперь вернемся к началу и попробуем решить задачу «наивным» способом, выбирая на каждом шаге, начиная с первого, самое выгодное (для этого шага) направление (если таких два, выбираем любое). Таким способом мы получим управление

х = (с, с, в, в, в, в, с, в, в, в, с, с).

Подсчитаем расходы для этой траектории. Они будут равны W =10 +12 +8+10 +11 +13 +15+8 + +10+9+8+14=128, что безусловно больше, чем W* = 118. В данном случае разница не очень велика, но в других она может быть существенной.

В решенной выше задаче условия были намеренно до крайности упрощены. Разумеется, никто не будет вести железнодорожный путь «по ступенькам», перемещаясь только строго на север или строго на восток. Такое упрощение мы сделали для того, чтобы в каждой точке выбирать только из двух управлений: «с» или «в». Можно было бы вместо двух возможных направлений ввести их несколько и, кроме того, взять шаги помельче; принципиального значения это не имеет, но, разумеется, усложняет и удлиняет расчеты.

Заметим, что задачи, сходные с рассмотренной выше, очень часто встречаются на практике: например, при выборе наискорейшего пути между двумя точками или наиболее экономного (в смысле расхода горючего) набора скорости и высоты летательным аппаратом.

Сделаем одно попутное замечание. Внимательный читатель, вероятно, заметил, что в нашей задаче точки А и В (начало и конец) в принципе ничем друг от друга не отличаются: можно было бы строить условные оптимальные управления не с конца к началу, а с начала к концу, а безусловные - в обратном направлении. Действительно, это так: в любой задаче динамического программирования «начало» и «конец» можно поменять местами. Это совершенно равносильно описанной ранее методике в расчетном отношении, но несколько менее удобно при словесном объяснении идеи метода: легче аргументировать, ссылаясь на «уже сложившиеся» условия к началу данного шага, чем на те, которые еще «предстоят» после этого шага. По существу же оба подхода совершенно равносильны.

2. Задача о распределении ресурсов. Метод динамического программирования позволяет с успехом решать многие экономические задачи (см., например, ). Рассмотрим одну из простейших таких задач. В нашем распоряжении имеется какой-то запас средств (ресурсов) К, который должен быть распределен между т предприятиями П 1 , П 2 , ..., П m . Каждое из предприятий П i при вложении в него каких-то средств х приносит доход, зависящий от x , т. е. представляющий собой какую-то функцию (x ). Все функции (x ) (i = 1, 2, ..., т) заданы (разумеется, эти функции - неубывающие). Спрашивается, как нужно распределить средства К. между предприятиями, чтобы в сумме они дали максимальный доход?

Эта задача легко решается методом динамического программирования.. Хотя в своей постановке она не содержит упоминания о времени, можно все же операцию распределения средств мысленно развернуть в какой-то последовательности, считая за первый шаг вложение средств в предприятие П 1 , за второй - в П 2 и т. д.

Управляемая система S в данном случае - средства или ресурсы, которые распределяются. Состояние системы S перед каждым шагом характеризуется одним числом S - наличным запасом еще не вложенных средств. В этой задаче «шаговыми управлениями» являются средства х 1 , х 2 , ..., х 3 , выделяемые предприятиям. Требуется найти оптимальное управление, т. е. такую совокупность чисел х 1 , х 2 , ..., х m , при которой суммарный доход максимален:

(13.1)

Решим эту задачу сначала в общем, формульном виде, а потом - для конкретных числовых данных. Найдем для каждого i -го шага условный оптимальный выигрыш (от этого шага и до конца), если мы подошли к данному шагу с запасом средств S. Обозначим условный оптимальный выигрыш W i (S), а соответствующее ему условное оптимальное управление - средства, вкладываемые в i -е предприятие, - x i (S).

Начнем оптимизацию с последнего, т - го шага. Пусть мы подошли к этому шагу с остатком средств S. Что нам делать? Очевидно, вложить всю сумму S целиком в предприятие П m . Поэтому условное оптимальное управление на m -м шаге: отдать последнему предприятию все имеющиеся средства S, т. е.

а условный оптимальный выигрыш

W m (S)= (S).

Задаваясь целой гаммой значений S (располагая их достаточно тесно), мы для каждого значения S будем знать x m (S) и W m (S). Последний шаг оптимизирован.

Перейдем к предпоследнему, (т - 1)-му шагу. Пусть мы подошли к нему с запасом средств S. Обозначим W m -1 (S) условный оптимальный выигрыш на двух последних шагах: (m - 1)-м и m -м (который уже оптимизирован). Если мы выделим на (m - 1)-м шаге (m - 1)-му предприятию средства х, то на последний шаг останется S - х. Наш выигрыш на двух последних шагах будет равен

,

и нужно найти такое х, при котором этот выигрыш максимален:

Знак означает, что берется максимальное значение по всем х, какие только возможны (вложить больше, чем S, мы не можем), от выражения, стоящего в фигурных скобках. Этот максимум и есть условный оптимальный выигрыш за два последних шага, а то значение х, при котором этот максимум достигается,- условное оптимальное управление на (т- 1)-м шаге.

и соответствующее ему условное оптимальное управление x i (S) - то значение х, при котором этот максимум достигается.

Продолжая таким образом, дойдем, наконец, до 1-го предприятия П 1 . Здесь нам не нужно будет варьировать значения S; мы точно знаем, что запас средств перед первым шагом равен К:

Итак, максимальный выигрыш (доход) от всех предприятий найден. Теперь остается только «прочесть рекомендации». То значение х, при котором достигается максимум (13.4), и есть оптимальное управление на 1-м шаге. После того как мы вложим эти средства в 1-е предприятие, у пас их останется К- . «Читая» рекомендацию для этого значения S, выделяем второму предприятию оптимальное количество средств:

,

и т. д. до конца.

А теперь решим численный пример. Исходный запас средств К = 10 (условных единиц), и требуется его оптимальным образом распределить между пятью предприятиями (т = 5). Для простоты предположим, что вкладываются только целые количества средств. Функции дохода (х ) заданы в таблице 13.1.

Таблица 13.1

х
	0,5 1,0 1,4 2,0 2,5 2,8 3,0 3,0	0,1 0,5 1,2 1,8 2,5 2,9 3,5 3,5	0,6 1,1 1,2 1,4 1,6 1,7 1,8 1,8	0,3 0,6 1,3 1,4 1,5 1,5 1,5 1,5	1,0 1,2 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3

В каждом столбце, начиная с какой-то суммы вложений, доходы перестают возрастать (реально это соответствует тому, что каждое предприятие способно «освоить» лишь ограниченное количество средств).

Произведем условную оптимизацию так, как это было описано выше, начиная с последнего, 5-го шага. Каждый раз, когда мы подходим к очередному шагу, имея запас средств S, мы пробуем выделить па этот шаг то или другое количество средств, берем выигрыш па данном шаге по таблице 13.1, складываем с уже оптимизированным выигрышем на всех последующих шагах до конца (учитывая, что средств у нас осталось уже меньше, как раз на такое количество средств, которое мы выделили) и находим то вложение, на котором эта сумма достигает максимума. Это вложение и есть условное оптимальное управление на данном шаге, а сам максимум - условный оптимальный выигрыш.

В таблице 13.2 даны результаты условной оптимизации по всем шагам. Таблица построена так: в первом столбце даются значения запаса средств S, с которым мы подходим к данному шагу. Далее таблица разделена на пять пар столбцов, соответственно номеру шага. В первом столбце каждой пары приводится значение

Таблица 13.2

S	i=5	i=4	i=3	i=2	i=1
x 5 (S )	W 5 (S )	x 4 (S )	W 4 (S )	x 3 (S )	W 3 (S )	x 2 (S )	W 2 (S )	x 1 (S )	W 1 (S )
		1,0 1,2 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3		1,0 1,3 1,6 2,3 2,5 2,6 2,7 2,8 2,8 2,8		1,0 1,6 2,1 2,4 2,9 3,4 3,6 3,7 3,9 4,1		1,0 1,6 2,1 2,4 2,9 3,5 4,1 4,6 5,1 5,6		5,6

условного оптимального управления, во втором - условного оптимального выигрыша. Таблица заполняется слева направо, сверху вниз. Решение на пятом - последнем - шаге вынужденное: выделяются все средства;

па всех остальных шагах решение приходится оптимизировать. В результате последовательной оптимизации 5-го, 4-го, 3-го, 2-го и 1-го шагов мы получим полный список всех рекомендаций по оптимальному управлению и безусловный оптимальный выигрыш W* за всю операцию - в данном случае он равен 5,6. В последних двух столбцах таблицы 13.2 заполнена только одна строка, так, как состояние системы перед началом первого шага нам в точности известно:

S 0 = К = 10. Оптимальные управления на всех шагах выделены рамкой. Таким образом, мы получили окончательный вывод: надо выделить первому предприятию две единицы из десяти, второму - пять единиц, третьему - две, четвертому - ни одной, пятому - одну единицу. При этом распределении доход будет максимален и равен 5,6.

Чтобы читателю было понятно, как заполняется таблица 13.2, продемонстрируем это на одном образце расчета. Пусть, например, нам нужно оптимизировать решение х 3 (7)- как поступать на третьем шаге, если мы подошли к нему с запасом средств S = 7, и сколько максимум мы можем выиграть на всех оставшихся

Таблица 13.3

x	7 - x		W 4 (7 - x )	+W 4 (7 - x )
		1,8 1,7 1,6 1,4 1,2 1,1 0,6	1,0 1,3 1,6 2,3 2,5 2,6 2,7	1,8 2,7 2,9 3,0 3,5 3,2 2,7

шагах, включая третий? Предположим, что все шаги после третьего (4-й и 5-й) уже оптимизированы, т. е. заполнены две первые пары столбцов таблицы 13.2. Найдем x 3 (7) и W 3 (7). Для этого составим вспомогательную табличку (см. таблицу 13.3). В первом ее столбце перечислены все возможные вложения х на третьем шаге, не превосходящие S = 7. Во втором столбце - то, что останется после такого вложения от запаса средств S = 7. В третьем столбце - выигрыш на третьем шаге от вложения средств х в третье предприятие заполняется по столбцу ( таблицы 13.1). В четвертом столбце - оптимальный выигрыш на всех оставшихся шагах (четвертом и пятом) при условии, что мы подошли к четвертому шагу с оставшимися средствами (заполняется по столбцу i = 4 таблицы 13.2). В пятом столбце - сумма двух выигрышей: шагового и оптимизированного дальнейшего при данном вложении х в третий шаг.

Из всех выигрышей последнего столбца выбирается максимальный (в таблице 13.3 он равен W 3 (7) = 3,6, а соответствующее управление х (7) = 2).

Возникает вопрос: а что если во вспомогательной таблице типа 13.3 максимум достигается не при одном x , а при двух или больше? Отвечаем: совершенно все равно, какое из них выбрать; от этого выигрыш не зависит. Вообще, в задачах динамического программирования решение вовсе не должно быть единственным (мы об этом уже упоминали).

3. Задача о загрузке машины. Пользуясь методом динамического программирования, можно с успехом решать ряд задач оптимизации, описанных в главе 3, в частности, некоторые задачи целочисленного программирования. Заметим, что целочисленность решений, так затрудняющая задачи линейного программирования, в данном случае не усложняет, а наоборот, упрощает процедуру (как нам ее упростила целочисленность вложений в предыдущей задаче).

В качестве примера рассмотрим задачу о загрузке машины (мы уже упоминали о пей в предыдущей главе): имеется определенный набор предметов П 1 , П 2 ,..., П n (каждый в единственном экземпляре); известны их веса q 1 , q 2 , ..., q n и стоимости с 1 , с 2 , ..., с n . Грузоподъемность машины равна Q. Спрашивается, какие из предметов нужно взять в машину, чтобы их суммарная стоимость (при суммарном весе Q) была максимальна?

Исследование операций

Исследование операций (ИО) (англ. Operations Research, OR ) - дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения оптимальных решений на основе математического моделирования , статистического моделирования и различных эвристических подходов в различных областях человеческой деятельности. Иногда используется название математические методы исследования операций .

Исследование операций - применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Исследование операций начинается тогда, когда для обоснования решений применяется тот или другой математический аппарат. Операция - всякое мероприятие (система действий), объединённое единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели (напр., мероприятия задач 1-8, указанных ниже, будут операциями). Операция всегда является управляемым мероприятием, то есть зависит от человека, каким способом выбрать параметры, характеризующие её организацию (в широком смысле, включая набор технических средств, применяемых в операции). Решение (удачное, неудачное, разумное, неразумное) - всякий определённый набор зависящих от человека параметров. Оптимальное - решение, которое по тем или другим признакам предпочтительнее других. Цель исследования операций - предварительное количественное обоснование оптимальных решений с опорой на показатель эффективности . Само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица (лиц). Элементы решения - параметры, совокупность которых образует решение: числа, векторы, функции, физические признаки и т. д. Если элементами решения можно распоряжаться в определённых пределах, то заданные («дисциплинирующие») условия (ограничения) фиксированы сразу и нарушены быть не могут (грузоподъёмность, размеры, вес). К таким условиям относятся средства (материальные, технические, людские), которыми человек вправе распоряжаться, и иные ограничения, налагаемые на решение. Их совокупность формирует множество возможных решений .

Примеры: Составляется план перевозок грузов из пунктов отправления А 1 , А 2 , …, А m в пункты назначения В 1 , В 2 , …, В n . Элементы решения - числа x ij , показывающие, какое количество груза будет отправлено из i-го пункта отправления А i в j-й пункт назначения В j . Решение - совокупность чисел x 11 , x 12 , …, x m1 , x m2 , …, x mn

Не до конца ясно будущее соотношение между ИО и теорией (сложных) систем .

Типичные задачи

Взяты из разных областей практики

1. План снабжения предприятий
2. Постройка участка магистрали
3. Продажа сезонных товаров
4. Снегозащита дорог
5. Противолодочный рейд
6. Выборочный контроль продукции
7. Медицинское обследование
8. Библиотечное обслуживание

Некоторые примеры формулировок задач, имеющих отношение к ИО:

• Задачи составления расписания, диспетчеризации такие как Open Shop Scheduling Problem, Flow Shop Scheduling Problem, Job Shop Scheduling Problem (англ. en:Job shop scheduling ) и т. д.

Характерная особенность исследования операций - системный подход к поставленной проблеме и анализ. Системный подход является главным методологическим принципом исследования операций. Он заключается в следующем. Любая задача, которая решается, должна рассматриваться с точки зрения влияния на критерии функционирования системы в целом. Для исследования операций характерно то, что при решении каждой проблемы могут возникать новые задачи. Важной особенностью исследования операций есть стремление найти оптимальное решение поставленной задачи (принцип «оптимальности»). Однако на практике такое решение найти невозможно по таким причинам:

1. отсутствие методов, дающих возможность найти глобально оптимальное решение задачи
2. ограниченность существующих ресурсов (к примеру, ограниченность машинного времени ЭВМ), что делает невозможным реализацию точных методов оптимизации.

В таких случаях ограничиваются поиском не оптимальных, а достаточно хороших, с точки зрения практики, решений. Приходится искать компромисс между эффективностью решений и затратами на их поиск. Исследование операций дает инструмент для поиска таких компромиссов.

ИО используют в основном крупные западные компании в решении задач планирования производства (контроллинга , логистики , маркетинга) и прочих сложных задач . Применение ИО в экономике позволяет понизить затраты или, по другому сформулировав, повысить продуктивность предприятия (иногда в несколько раз!). ИО активно используют армии и правительства многих развитых стран для оценки боевой эффективности вооружений , военной техники и воинских формирований , развития новых видов вооружений, решения комплексных задач снабжения армий, продвижения армий, развития стратегий войн, развития межгосударственных торговых механизмов, прогнозирования развития (например, климата) и т. д. Решение комплексных задач повышенной важности производится методами ИО на суперкомпьютерах , но разработки ведутся на простых ПК . Применять методы ИО можно и на малых предприятиях, используя ПК.

История

В начале войны боевое патрулирование самолетов союзников для обнаружения кораблей и подводных лодок противника носило неорганизованный характер. Привлечение к планированию специалистов по исследованию операций позволило установить такие маршруты патрулирования и такое расписание полетов, при которых вероятность оставить объект незамеченным была сведена до минимума. Полученные рекомендации были применены для организации патрулирования над Южной Атлантикой с целью перехвата немецких кораблей с военными материалами. Из пяти вражеских кораблей, прорвавших блокаду, три были перехвачены на пути из Японии в Германию, один был обнаружен и уничтожен в Бискайском заливе и лишь одному удалось скрыться благодаря тщательной маскировке.

По окончании Второй мировой войны группы специалистов по исследованию операций продолжили свою работу в Вооружённых силах США и Великобритании. Публикация ряда результатов в открытой печати вызвала всплеск общественного интереса к этому направлению. Возникает тенденция к применению методов исследования операций в коммерческой деятельности, в целях реорганизации производства, перевода промышленности на мирные рельсы. На развитие математических методов исследования операций в экономике ассигнуются миллионы долларов.

В Великобритании национализация некоторых видов промышленности создала возможность для проведения экономических исследований на базе математических моделей в общегосударственном масштабе. Исследование операций стало применяться при планировании и проведении некоторых государственных, социальных и экономических мероприятий. Так, например, исследования, проведенные для министерства продовольствия, позволили предсказать влияние политики правительственных цен на семейный бюджет.

В США внедрение методов исследования операций в практику управления экономикой происходило несколько медленнее - но и там многие концерны вскоре стали привлекать специалистов такого рода для решения проблем, связанных с регулированием цен, повышением производительности труда, ускорением доставки товаров потребителям и пр. Лидерство в области применения научных методов управления принадлежало авиационной промышленности, которая не могла не идти в ногу с растущими требованиями к ВВС. В 1950-1960-е годы на Западе создаются общества и центры исследования операций, выпускающие собственные научные журналы, большинство западных университетов включает эту дисциплину в свои учебные планы.

Наибольший вклад в формирование и развитие новой науки сделали Р. Акоф , Р. Беллман , Дж. Данциг , Г. Кун, Т. Саати (англ.) русск. , Р. Чермен (США), А. Кофман, Р. Форд (Франция) и др.

Важная роль в создании современного математического аппарата и развития многих направлений исследования операций принадлежит Л. В. Канторовичу , Б. В. Гнеденко, М. П. Бусленко, В. С. Михалевичу, Н. Н. Моисееву, Ю. М. Ермолаеву, Н. З. Шору и др.

За выдающийся вклад в разработку теории оптимального использования ресурсов в экономике академику Л. В. Канторовичу вместе с профессором Т. Купмансом (США) в 1975 году присвоена Нобелевская премия в экономике.

См. также

Примечания

Литература

• Хемди А. Таха. Введение в исследование операций = Operations Research: An Introduction. - М .: Вильямс, 2007. - 912 с. - ISBN 0-13-032374-8
• Дегтярёв Ю. И. Исследование операций: учебник для вузов по специальности АСУ. - М .: Высшая школа, 1986.
• Грешилов А. А. Математические методы принятия решений. - М .: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 584 с. - ISBN 5-7038-2893-7

Ссылки

• Исследование операций в каталоге ссылок Open Directory Project (dmoz).

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Исследование операций" в других словарях:

исследование операций - — исследование операций Прикладное направление кибернетики, используемое для решения практических организационных (в том числе экономических) задач. Это — комплексная… … Справочник технического переводчика

Прикладное направление кибернетики, используемое для решения организационных (в т. ч. экономических) задач (распределения ресурсов, управления запасами, упорядочения и согласования и др.). Главный метод системный анализ целенаправленных действий… … Большой Энциклопедический словарь

Исследование операций - прикладное направление кибернетики, используемое для решения практических организационных (в том числе экономических) задач. Это комплексная научная дисциплина. Круг проблем, изучаемых ею, пока недостаточно… … Экономико-математический словарь

Построение, разработка и приложения математич. моделей принятия оптимальных решений. Содержанием теоретич. аспекта И. о. являются анализ и решение математич. задач выбора в заданном множестве допустимых решений Xэлемента, удовлетворяющего тем или … Математическая энциклопедия

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ - метод изучения, анализа и оценки операций, их количественных и качественных показателей. Исследует ход и исход операций с учетом принимаемых решений, количественных и качественных характеристик соотношения сил и средств, способов боевого… … Война и мир в терминах и определениях

Прикладное направление кибернетики, используемое для решения организационных (в том числе экономических) задач (распределения ресурсов, управления запасами, упорядочения и согласования и др.). Главный метод системный анализ целенаправленных… … Энциклопедический словарь

Прикладное направление кибернетики, используемое для решения организац. (в т. ч. экономических) задач (распределения ресурсов, управления запасами, упорядочения и согласования и др.). Гл. метод системный анализ целенаправл. действий (операций) и… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Прикладное направление кибернетики, используемое для решения организационных (в т. ч. экон.) задач (распределения ресурсов, управления запасами, упорядочения и согласования и др.). Гл. метод системный анализ целенаправленных действий (операций) и … Естествознание. Энциклопедический словарь

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ - направление в экономико математических методах, основанное на моделировании математических процессов и явлений. И.о. предполагает системный подход, состоящий в поиске существенных взаимодействий при оценке деятельности или стратегии любой части… … Большой экономический словарь

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ - направление в исследовании и проектировании СЧМ, основанное на математическом моделировании процессов и явлений. И. о. предполагает системный подход, состоящий в поиске существующих взаимодействий при оценке деятельности или стратегии любой части … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике Подробнее

Под операцией понимается любое мероприятие, объединенное единым замыслом и направление к достижению определенной цели.

Операция всегда является управляемым мероприятием, т.е. от нас зависит выбор параметров, характеризующих способ ее организации.

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров будем называть решением .

Оптимальными называются решения, которые, по тем или иным соображениям, предпочтительнее других.

Основная задача исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений . Исследование операций не ставит задачу полную автоматизацию принятия решений. Решение всегда принимается человеком. Задача исследования операций – подготовить количественные данные и рекомендации, облегчающие человеку принятие решений.

Наряду с основной задачей - обоснованием оптимальных решений – к области исследования операций относятся и другие задачи:

Сравнительная оценка различных вариантов организации операции,

Оценка влияния на операцию различных параметров,

Исследование «узких мест», т.е. элементов, нарушение работы которых особенно сильно сказывается на успехе операции, и т.д.

Эти вспомогательные задачи приобретают особую важность, когда данная операция рассматривается не изолировано, а как составной элемент целой системы операций. «Системный» подход к задачам исследования операций требует учета взаимной зависимости и обусловленности целого комплекса мероприятий, т.е. окончательное решение принимать с учетом роли и места данной операции в системе.

Под эффективностью операции понимается степень ее приспособленности к выполнению стоящей перед ней задачи.

Чтобы судить об эффективности операции и сравнивать между собой по эффективности различно организованные операции, нужно иметь некоторый численный критерий оценки или показатель эффективности .

Последовательность действий в исследовании операций.

1. Формулируется цель исследования и разрабатывается постановка задачи.

2. Для применения количественных методов в любой области всегда требуется построить математическую модель явления. На основе анализа свойств оригинала осуществляется построение этой модели.

3. После построения модели на ней получают результаты

4. Они интерпретируются в терминах оригинала и переносятся на оригинал.

5. С помощью сравнения осуществляется сопоставление результатов моделирования с результатами, полученными при непосредственном исследовании оригинала.

Если результаты, полученные с помощью модели, близки к результатам, полученным при исследовании оригинала, то в отношении данных свойств модель можно считать адекватной оригиналу.

При проектировании и эксплуатации АСУ часто возникают задачи, связанные с анализом, как количественных, так и качественных закономерностей их функционирования, определением их оптимальной структуры и т.д.

Непосредственное экспериментирование на объектах для решения этих задач имеет ряд существенных недостатков:

1. Нарушается установленный режим работы объекта.

2. В натурном эксперименте невозможно проанализировать все альтернативные варианты построения системы и т.д.

Эти задачи целесообразно решать на модели, отделенной от объекта и реализуемой на ЭВМ.

При моделировании информационных систем находят широкое применение математические модели.

Метод математического моделирования является способом исследования различных объектов путем составления соответствующего математического описания и вычисления на его основе характеристик исследуемого объекта.

Необходимо построение математической модели. Она формализовано отражает процесс функционирования оригинала и описывает основные закономерности его поведения. При этом все второстепенные, несущественные факторы из рассмотрения исключаются.

Объектом математического моделирования являются сложные системы. Сложной системой называют определенным образом организованную и целенаправленную функционирующую совокупность большого числа информационно связанных и взаимодействующих элементов в условиях воздействия внешних факторов.

Можно выделить 4 основных этапа моделирования систем на ЭВМ:

Построение концептуальной модели системы и ее формализация;

Алгоритмизация модели системы и разработка моделирующей программы;

Получение и интерпретация предварительных результатов моделирования;

Проверка адекватности модели и системы; корректировка модели

Основной расчет показателей качества функционирования системы по результатам моделирования, реализация модели.

Лекция 3. Основные понятия метода экспертных оценок. Формирование экспертных групп. Процедуры опроса. Методы ранжирования, парных сравнений, оценивание в относительной шкале.