Диспут

Формула Кардано

Мостового

г. Одесса

Диспут

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, но обязательно научный. При этом под наукой понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем. Например, о том, приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т. д.

О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала диспута. Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви. Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении. Его противником должен был быть математик и врач Джеронимо Кардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последней в своей книге «Ars magna» опубликовал способ решения уравнения 3- Й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари. Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противополжную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.

Начал Тарталья.

Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач - 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть по истине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым.»

Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали не верное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы - мой учитель и я - не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?

Господа, господа, - закричал Тарталья, - я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены не правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно …

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа, требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари. Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.

…Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас - Никколо Тарталье. Он открыл, а Кардано выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это - историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной …

Формула Кардано

Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений:

Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Если положить

, то мы приведем уравнение (1) к виду

Введем новое неизвестное U с помощью равенства

Внося это выражение в (2) , получим

следовательно

Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение и учесть, получающееся в результате выражение для u оказывается симметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим

(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться p ).

Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновь к x, то получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени.

Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?

Пусть (1)

- общее уравнение 4-й степени.

Если положить ,

то уравнение (1) можно привести к виду

где p,q,r - некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e . Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:

В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t , взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2) .

Выберем параметр t так,чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно y . Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно y ), стоящего справа:

Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3) , теперь примет вид

Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2) , а следовательно и (1) .

За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его собственный гороскоп связывал его кончину с 75- летием. Он умер 21сентября 1576г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано - астролог относился к гороскопу серьезно.

Замечание о формуле Кардано

Проанализируем формулу для решения уравнения в вещественной области. Итак,

При вычислении x нам приходится извлекать в начале квадратный корень, а затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в вещественной области, если . Два значения квадратного корня, отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемых для x . Значения кубического корня в вещественной области единственно и получается единственный вещественный корень x при . Исследуя график кубического трехчлена ,нетрудно убедиться, что он в самом деле имеет единственный вещественный корень при . При имеется три вещественных корня. При имеется двукратный вещественный корень и однократный, а при -трехкратный корень x=0 .

Продолжим исследование формулы при . Оказывается. Что если при этом уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при вычислении его по формуле могут возникнуть промежуточные иррациональности. Например, уравнение имеет единственный корень (вещественный) - x=1 . Формула Кардано дает для этого единственного вещественного корня выражение

Но фактически любое доказательство предполагает использование того, что это выражение является корнем уравнения . Если же не угадать того, при преобразовании будут возникать неистребимые кубические радикалы.

О проблеме Кардано - Тартальи вскоре забыли. Формулу для решения кубического уравнения связали с «Великим искусством» и постепенно стали называть формулой Кардано .

У многих возникало желание восстановить истинную картину событий в ситуации, когда их участники несомненно не говорили всей правды. Для многих было важно установить степень вины Кардано. К концу XIX века часть дискуссий стала носить характер серьезных историко-математических исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц: «Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством».

Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, два других либо также действительные, либо являются комплексно сопряженной парой.

Начнем обзор с простейших случаев - двучленного и возвратного уравнений. Затем перейдем к отысканию рациональных корней (если такие имеются). Закончим примером отыскания корней кубического уравнения по формуле Кардано для общего случая.

Навигация по странице.

Решение двучленного кубического уравнения.

Двучленное кубическое уравнение имеет вид .

Это уравнение приводится к виду делением на коэффициент А , отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:

Из первой скобки находим , а квадратный трехчлен имеет лишь комплексные корни.

Пример.

Найти действительные корни кубического уравнения .

Решение.

Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов:

Из первой скобки находим , квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Ответ:

Решение возвратного кубического уравнения.

Возвратное кубическое уравнение имеет вид , где А и В – коэффициенты.

Проведем группировку:

Очевидно, что х = -1 является корнем такого уравнения, а корни полученного квадратного трехчлена легко находятся через дискриминант.

Пример.

Решить кубическое уравнение .

Решение.

Это уравнение возвратное. Проведем группировку:

Очевидно, x = -1 является корнем уравнения.

Находим корни квадратного трехчлена :

Ответ:

Решение кубических уравнений с рациональными корнями.

Начнем с простейшего случая, когда х=0 является корнем кубического уравнения .

В этом случае свободный член D равен нулю, то есть уравнение имеет вид .

Если вынести х за скобки, то в скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти либо через дискриминант, либо по теореме Виета .

Пример.

Найти действительные корни уравнения .

Решение.

x=0 является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена .

Так как его дискриминант меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Ответ:

х=0 .

Если коэффициенты кубического уравнения являются целыми числами, то уравнение может иметь рациональные корни.

При , домножим обе части уравнения на и проведем замену переменных y = Ax :

Пришли к приведенному кубическому уравнению. Оно может иметь целые корни, которые являются делителями свободного члена. Так что выписываем все делители и начинаем их подставлять в полученное уравнение до получения тождественного равенства. Тот делитель , при котором тождество получено, является корнем уравнения. Следовательно, корнем исходного уравнения является .

Пример.

Найти корни кубического уравнения .

Решение.

Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на обе части и проведем замену переменной y = 2x .

Свободный член равен 36 . Запишем все его делители: .

Подставляем их по очереди в равенство до получения тождества:

Таким образом, y = -1 является корнем. Ему соответствует .

Разделим на , используя :

Получаем,

Осталось найти корни квадратного трехчлена .

Очевидно, что , то есть, его кратным корнем является х=3 .

Ответ:

.

Замечание.

По такому алгоритму можно решать возвратные уравнения. Так как -1 является корнем всякого возвратного кубического уравнения, то можно разделить левую часть исходного уравнения на х+1 и найти корни полученного квадратного трехчлена.

В случае, когда кубическое уравнение не имеет рациональных корней, применяются другие способы решения, к примеру, специфические способы .

Решение кубических уравнений по формуле Кардано.

В общем случае, корни кубического уравнения находятся по формуле Кардано.

Для кубического уравнения находятся значения . Далее находим и .

Подставляем полученные p и q в формулу Кардано:

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = - B A 3 , а квадратный трехчлен - x 2 - B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Пример 1

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 - 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения - A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B - A + A

Корень уравнения равен х = - 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B - A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Пример 2

Решить уравнение вида 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Если х = - 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 - 13 x + 5:

5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 · 5 = 13 10 - 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Пример 3

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

Упростим выражение.

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 - 4 · 3 · 2 = - 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x - x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Пример 4

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х. Получаем, что

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 - 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 (- 1) 3 - 11 · (- 1) 2 + 24 · (- 1) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = - 1 – это корень. Значит, x = y 2 = - 1 2 .

Имеем, что

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 - 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Замечание

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что - 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = - B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению - p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y - B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Пример 5

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = - 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = - 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · - 11 2 3 27 - - 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 + - 343 216 - 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = - 7 6

Если k = 2 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 - i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим - p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 - i · 3 2 , - 7 6 и - 7 6 , 7 6 1 2 - i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 - i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений

или

и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:

Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и - корни уравнения

Выпишем эти корни:

Переменные и равны кубическим корням из и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:

.

Эта формула известная как формула Кардано .

Тригонометрическое решение

подстановкой приводится к "неполному" виду

, , . (14)

Корни , , "неполного" кубичного уравнения (14) равны

, ,

, ,

.

Пусть "неполное" кубичное уравнение (14) действительно.

а) Если ("неприводимый" случай), то и

,

,

.

(b) Если , , то

, .

(с) Если , , то

, ,

, .

Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.

Биквадратное уравнение

Алгебраическое уравнение четвертой степени.

где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением . Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и - корни соответствующего квадратного уравнения).

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

Если , ), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:

.

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

, .

Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари .

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

можно избавиться от члена подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так:

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

, или

Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид

,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

.

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Решим для примера уравнение

Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

или, после упрощения,

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений - и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

Кубическим уравнением называется уравнение вида

• ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 , (1)
• где a, b,c ,d - постоянные коэффициенты, а х - переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения , т.е.:

Δ= -4b 3 d + b 2 c 2 - 4ac 3 + 18abcd - 27a 2 d 2 (Да, это дискриминант кубического уравнения)

Итак, возможны только 3 следующих случая:

• Δ > 0 - тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых - три различных вещественных корня)
• Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
• Δ = 0 - хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда его и его второй производной равен нулю)

Формула Кардано решения кубических уравнений (нахождения корней).

Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел) .

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

y 3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак, что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y 1 . Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y 2 , y 3 и подставьте их в (3) .

Если Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1 , y 2 , y 3 и подставьте их в (3).

Если же Q =0, то все корни уравнений (1) и (2) вещественные, причем как минимум 2 корня каждого из уравнений совпадают. При этом имеем

• α = β, и
• y 1 =2α,
• y 2 = y 3 = - α.

Аналогично подставляем в (3) и получаем ответ.

Тригонометрическая формула Виета решения кубических уравнений (нахождения корней).

Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения , то есть уравнения вида

x 3 + ax 2 + bx +c = 0 (4)

Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

Итак, алгоритм применения этой формулы:

1. Вычисляем

2. Вычисляем

3. a) Если S>0, то вычисляем

φ=(arccos(R/Q 3/2))/3

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных) :

б) Если S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Вычисляем

φ=(Arch(|R|/|Q| 3/2)/3

Тогда единственный корень (вещественный) : x 1 = -2sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3

Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

• x 2 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 +(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
• x 3 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 -(3|Q|) 1/2 sh(φ)i

ГДЕ:

• ch(x)=(e x +e -x)/2
• Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2)
• sh(x)=(e x -e -x)/2
• sgn(x) - знак х

в) Если S=0,то уравнение имеет меньше трех различных решений: